字符串的模式匹配算法（思想+python实现）

朴素的模式匹配算法

一个例子：

从主串 S = "goodjob"中，找到子串 T = "job"的位置。我们通常需要下面的步骤。

1. 将子串"job"与主串S从第一位对应匹配。即判断 whether 'g' == 'j';
2. 判断结果为否，继续匹配 whether 'o' == 'j';
3. 直到找到第一位匹配 'j' = 'j';
4. 继续匹配完整 S[4:7] == 'job' == T。

是一种最简单的匹配算法，暴力易实现，但有许多冗余的步骤。

KMP 模式匹配算法

总的思想是：通过字符串已有的信息来规避朴素模式匹配中可以省略的步骤。

详细的过程不再赘述，在这里只进行简要的说明。

已知主串的下标为 $i$ , 子串的下标为 $j$ ，总结下来是两短句：“ $i$ 不回溯， $j$ 依 $n e x t$ ”。

$i$ 不回溯：指的是在匹配过程中，主串的匹配下标永远只会增加或不变，不会再去匹配之前主串的下标。

$j$ 依 $n e x t$ ：指的是子串的下标匹配规则是依照 $n e x t$ 数组值。

那么下面要详细说明 $n e x t$ 数组值是什么。

$n e x t$ 数组值推导

先给出数学式的定义：
$\begin{cases} 0, & \text{当 j = 1时} \\[2ex] Max\{ k | 1<k<j，且'p_1 ...p_{k-1}' ='p_{j-k+1}...p_{j-1}'\}& \text当此集合不空时\\[2ex] 1， & \text{其他情况} \end{cases}$
e.g. T = “abcabx”
$\begin{array}{c|lcr} j & 123456 \\ \hline 模式串T & abcabx \\ next[j] & 011123 \end{array}$
其中的一个子串"abcab", abcab，前缀和后缀有两个字符相等，则 $n e x t [6] = 2 + 1 = 3$ 。

整个算法的时间复杂度时 O(n + m)，相较于朴素模式匹配算法的 O((n - m + 1) * m)来说，较好一些（T的长度为m）。

KMP模式匹配算法改进

一个例子：主串S = “aaaabcde”，子串T = “aaaaax”，其 next 数组值分别为 012345，在开始时，当 i = 5， j = 5时，我们发现"b" 与 "a"不想等，因此，j = next[5] = 4，此时 "b"与第四位置的"a"依然不等，j = next[4] = 3 … 这样也会多出很多冗余的步骤。所以，我们对求解next函数进行了改进。

在每次赋值next的时候增加一个判断，判断 $whether\ T[i] == T[j]$ 。

最后给出具体的python求解next数组的程序：

import numpy as np

def get_nextval(T):
    T = '#' + T
    i = 1
    j = 0
    nextval = np.zeros(len(T), dtype=int)
    
    while i < len(T)-1:
        if j == 0 or T[i] == T[j]:
            i = i + 1
            j = j + 1
            if T[i] != T[j]:
                nextval[i] = j
            else:
                nextval[i] = nextval[j]
        else: 
            j = nextval[j]
    nextval = np.delete(nextval,0)
    return nextval

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