一、生活中的树的特点

二、模拟成树结构

三、树的定义

四、树的基本术语

一、生活中的树的特点

生活中的树，长这样：

它通常只有一个根，与根相连接的是树干。
树干上又有若干个树枝，树枝上可以分成若干个小的树枝。
树的末端有若干片树叶。

二、模拟成树结构

将上面的树倒过来，每个树枝连接一个结点，每片树叶又是一个结点，就是我们数据结构中的树结构。

与树结构相似的还有家族谱、公司组织架构以及知识结构等等。

其抽象出来的结构

三、树的定义

树（Tree）是n （n ≥ 0）个结点的有限集，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树T;

（1）有且仅有一个称之为根的结点。

（2）除根结点以外的其余结点可分为m（m ≥ 0）个互不相交的有限集T1，T2，...，Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）

树的结构定义是一个递归的定义，即在树的定义中有用到树的定义。

四、树的基本术语

这里的节点与结点的表示并无争议，两者皆可。

（1）结点：树中的一个独立单元，包含一个数据元素及若干个指向子结点的分支。如图中的A~K结点；

（2）结点的度（Degree）：结点拥有的子树数称为结点的度。如A的度为4，E的度为1，D的度为0；

（3）树的度：树的度是树内各结点度的最大值。如图中树的度为4；

（4）叶子（Leaf）：度为0的结点称为叶子或者是终端结点。如F，J，K，H，C，D，I都是叶子；

（5）双亲结点或父结点（Parent）：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点，如图B是F，G，H的父结点；

（6）孩子结点或子结点（Child）：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点，H是B的子结点，F是B的子结点；

（7）兄弟结点（Sibling）：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点，F与G是兄弟结点；

（8）结点的层次（Level）：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；上图中A位于第一层，K位于第四层；

（9）树的高度或深度（Depth）：树中结点的最大层次；上图该树的深度为4；

（10）非终端结点或分支结点：度不为0的结点；

（11）堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；

（12）结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；

（13）子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙；

（14）森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

五、树结构的表示形式

树的父子关系结点模拟成链表连接结点时，可以是以下结构

但是我们想想，如果以这种无脑申请空位指针时，就会变得非常复杂，我们到底是要申请一个还是两个还是多个，到最后可能还不能真正的满足我们的需求。

所以这种方式来构造我们的树结构不是很好。

儿子-兄弟表示法

在定义结点时，只需包含三个属性

this.key：存储的数据内容。也可以以键值对的形式存储[key, value]
this.left：用于指向左子树。
this.sibling：用于指向一个兄弟结点。

不难发现，当我们把这个儿子-兄弟表示法表示出来的结构旋转45°之后，达到的是一棵二叉树。

所有树都可以以这种形式模拟成二叉树

六、二叉树

1、二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是 n （n ≥ 0）个结点所构成的集合，它或为空树（n = 0）；或为非空树，对于非空树 T ;

（1）有且仅有一个称之为根的结点。

（2）除根结点以外的其余结点可分为两个互不相交的有限集 T1 和 T2 ，分别称为 T 的左子树和右子树，且 T1 和 T2 本身又都是二叉树。

2、二叉树的属性

(1) 在非空二叉树中，第 i 层的结点总数不超过 , i >= 1；

(2) 深度为h的二叉树最多有个结点( h >= 1)，最少有h个结点；

(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为 N0，而度数为2的结点总数为 N2 ，则 N0 = N2 + 1；

满二叉树：深度为h且含有个结点的二叉树。

每一层上的结点数都是最大结点数，即每一层 i 的结点数都具有最大值

完全二叉树：深度为 k 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当每一个结点都与深度为 k 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时。称之为完全二叉树。

（1）叶子结点只允许在层次最大的两层上出现。

（2）对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为 l ，其左分支下的子孙的最大层次必定为 l 或 l + 1，

(4) 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为（注：[ ]表示向下取整）