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一、回溯法
回溯法（back tracking）（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程。你只需要思考 3 个问题：
1、路径：也就是已经做出的选择。
2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。
3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。
回溯算法的基本框架：
result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
if 满足结束条件:
result.add(路径)
return
for 选择 in 选择列表:
做选择
backtrack(路径, 选择列表)
撤销选择当我们讲二叉树的遍历时，我们常常把在递归前的操作叫做前序遍历，在递归最后的操作叫做后序遍历。这两个遍历与我们回溯算法有什么关系呢?我们可以看到，回溯算法模板中有两个关键操作：做选择和撤销选择。做选择是对当前节点添加到路径中，所以我们需要前序遍历。如果已经遍历完当前分支了，我们需要回退到上一个节点，继续遍历下一个分支，所以需要撤销选择，而这个刚好可以用后续遍历实现。后序遍历也相当于递归中回退到当前节点而进行的操作。
所以，前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行，后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。我们只要在递归之前做出选择，在递归之后撤销刚才的选择，就能正确得到每个节点的选择列表和路径。
从这里也可以看出，回溯算法时间复杂度都不可能低于 O(N!)，因为穷举整棵决策树是无法避免的。这也是回溯算法的一个特点，不像动态规划存在重叠子问题可以优化，回溯算法就是纯暴力穷举，复杂度一般都很高。
二、算法应用
51. N 皇后
- 题目描述
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击
上图为 8 皇后问题的一种解法。给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例：
输入：4
输出：[
[".Q..", // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。- 解题思路
这个问题本质上跟全排列问题差不多，决策树的每一层表示棋盘上的每一行；每个节点可以做出的选择是，在该行的任意一列放置一个皇后。
- c++算法实现
bool isValid(const vector<string> &board,const int &row,const int &col){
int c=board[0].length();
int r=board.size();
for(int i=0;i<r;++i){
if(board[i][col]=='Q'){
return false;
}
}
// 检查右上方是否有皇后互相冲突
for (int i = row - 1, j = col + 1;
i >= 0 && j < c; i--, j++) {
if (board[i][j] == 'Q')
return false;
}
// 检查左上方是否有皇后互相冲突
for (int i = row - 1, j = col - 1;
i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
if (board[i][j] == 'Q')
return false;
}
return true;
}
void backtrack(vector<vector<string>> &res,
vector<string> &board,const int &row){
if(row==board.size()){
res.push_back(board);
return ;
}
int n=board[0].length();
for(int i=0;i<n;++i){
if(!isValid(board,row,i)){
continue;
}
board[row][i]='Q';
backtrack(res,board,row+1);
board[row][i]='.';
}
}
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
vector<vector<string>> res;
vector<string> board(n, string(n, '.'));
backtrack(res,board,0);
return res;
}参考链接：