HDU6814 杭电多校第5场 Tetrahedron（其实就两个式子，超简单版）

题意：

三个面都是直角的三棱锥，三个棱长分别为$a,b,c$（在$[1,n]$中任取）。设顶点到底面的距离$h$，求$\frac{1}{h^2}$的期望。

解析：

我看官方讲解推导实在太麻烦了，于是写一下这篇博客说一下自己的推法。

既然三棱锥三个角都是直角，我们直接把顶点当作坐标原点，三条棱当作三个方向的轴，$h$的求解就转换成了点到面的距离。

三维直角坐标系中点$(x_0,y_0,z_0)$到面$Ax+By+Cz+D=0$的距离公式：
$$h=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
底面是一个过$(0,0,a),(b,0,0),(0,c,0)$的面，面的公式求都不用求
$$acx+aby+bcz-abc=0$$
顶点是坐标原点，直接套公式
$$h=\frac{abc}{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}$$
那么
$$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$$
$a,b,c$等价，$E(\frac{1}{h^2})=3\times E(\frac{1}{a^2})$

线性求下逆元，再求前缀和，最后输出的时候别忘了期望还要除以概率，$pre[n]\times inv[n]\%mod$

AC代码：

#include<cstdio>
#include <cmath>
#define pb push_back 
#define fir first
#define sec second
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define sp system("pause")
#define multi int T;scanf("%d",&T);while(T--) 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=6e6+5;
const ll mod=998244353;
const db pi=acos(-1.0);
ll inv[N],pre[N];
ll qpow(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void invv(int n,int p)//1~n在模p意义下逆元
{
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=((-p/i*inv[p%i])%p+p)%p;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("D:\\work\\data.in","r",stdin);
    #endif
    invv(6e6,mod);
    for(ll i=1;i<=6e6;i++){
        pre[i]=(pre[i-1]+3*inv[i]*inv[i])%mod;
    } 
    multi{
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",pre[n]*inv[n]%mod);
    }
}