P5249 [LnOI2019]加特林轮盘赌

题目

题目

思路

期望dp。
设$a_{i,j}$为前i个人中，第j个人活到最后的情况。
显然有：
$a_{i,j}=P\ast a_{i-1,j-1}+(1-P)\ast a_{i,j-1},1<=i<=n,1<=j<=i$
同时有：
${\sum }_{j=1}^i{a}_{i,j}=1$
那么这里一共n个方程，全部高斯消元？
TLE妥妥地
所以我们不能用高斯消元，那么我们如何提速呢？
n只有$10^4$，所以可以n方算法，这么说这里计算方程只能O（n）了？
没错，当然是O（n）！
按循环顺序，显然方程第一项是个常数了，我们只需要考虑后面的，运用递归知识（这里O(n)），我们可以求出一个这样的柿子：
$x\ast a_{i,1}+y=1$,进一步可得$a_{i,1}$，这里就可以递推出$a_{i,2}\dots \dots a_{i,i}$.
不要忘记特判$P$为0的情况。
code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue> 
using namespace std;
double p,a[10010],b[10010],c,d,lc,ld;
int n,k;
void f(int x)
{
    
    
	if (x==1)
	{
    
    
		c=1,d=0,
		lc=1,ld=0;
		return;
	}
	f(x-1);
	c=(1-p)*c;
	d=p*b[x]+(1-p)*d;
	lc+=c,ld+=d;
	return;
}
int main()
{
    
    
	cin>>p>>n>>k;
	if (p==0)//加特林瓦特了
	{
    
    
		cout<<(n<=1);
		return 0;
	}
	b[2]=a[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
    
    
		f(i);
		a[1]=(1-ld)/lc;
		for (int j=2;j<=i;j++) a[j]=p*b[j]+(1-p)*a[j-1];
		for (int j=2;j<=i+1;j++) b[j]=a[j-1];
	}
	printf("%.12lf",a[k]);
    return 0;
}