【ACWing】1126. 最小花费

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1128/

在$n$个人中，某些人的银行账号之间可以互相转账。这些人之间转账的手续费各不相同。给定这些人之间转账时需要从转账金额里扣除百分之几的手续费，请问$A$最少需要多少钱使得转账后$B$收到$100$元。

输入格式：
第一行输入两个正整数$n,m$，分别表示总人数和可以互相转账的人的对数。以下$m$行每行输入三个正整数$x,y,z$，表示标号为$x$的人和标号为$y$的人之间互相转账需要扣除$z$的手续费（$z<100$）。最后一行输入两个正整数$A,B$。数据保证$A$与$B$之间可以直接或间接地转账。

输出格式：
输出$A$使得$B$到账$100$元最少需要的总费用。精确到小数点后$8$位。

数据范围：
$1\le n\le 2000$
$m\le 10^5$

假设$A$一开始手里有$1$块钱，将转账看成是在图上走过一条边，这条边的权是$1-z\%$，并且每走过一条边，就乘上这个权值。那么相当于要问，从$A$走到$B$的最大权值乘积是多少。因为$1-z\%>0$，将每条边的权值取对数再取反，就将问题转为非负权无向图的最短路问题，可以用Dijkstra算法来做。对该图而言，可以用朴素版Dijkstra算法来做。参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113816110。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 2010;
int n, m, S, T;
double g[N][N];
double dist[N];
bool st[N];

void dijkstra() {
    
    
    dist[S] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] < dist[j]))
                t = j;
        
        // 搜到终点了就可以直接返回了
        if (t == T) return;

        st[t] = true;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && dist[j] < dist[t] * g[t][j])
                dist[j] = dist[t] * g[t][j];
    }
}

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
    
    
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        double z = (100.0 - c) / 100;
        g[a][b] = g[b][a] = max(g[a][b], z);
    }
    
    cin >> S >> T;

    dijkstra();

    printf("%.8lf\n", 100 / dist[T]);

    return 0;
}

时间复杂度$O(m\log n)$，空间$O(n^2)$。