PAT-2021年春季考试-顶级题解

前言:

非常热乎的题解，嘿嘿。以往难度不知道(没刷过他们的题库)，感觉这次顶级难度真不高啊，，可能是题目难读的原因嘛？之前听cy姥姥吹的那么nb。没想到还是比较简单，唯一难读的就是题意，比较绕。

A.共享单车回收:Floyd,模拟

题目大意:

给你一张含$(n+1)$个点(编号$0,1,2,...,n$)$m$条边的带边权无向图。从0点出发。每次选择尚未访问过的节点中最短路径最短的点，去往那里。以此往复。直到无点可走。

第一行输出访问节点的路径.

第二行，若这张图连通。输出总花费。反之输出未访问到的点.

$n\le 200$

题目思路:

直接按照题意模拟就完了。

先$Floyd$预处理出两点之间的最短路。然后$dfs$模拟这个过程即可。最后判一下是否连通。很容易的题目.$O(n^3)$.

B.剪草:LIS+求具体方案

题目大意:

给你$n$个数。让你将一些数变大或者变小使得数列变成非升或者非降的。问最小更改的个数。

如果改成非升的和改成非降的都是最小更改(也就是有多解)，则尽量让【变大的数】的个数最少(这个部分保证数据中答案一定唯一).

第一行输出$x$代表删除的个数
第二行输出$x$个数，从小到大，代表删除的下标

$n\le 2000$
$1\le a_i\le 1e3$

题目思路:

1.我们只计算【变成非降】的结果，对于【变成非升】的结果，我们直接对原序列$reverse$一下再跑非降就好了。

2.显然最小更改 = $n-最长非降子序列$.所以我们$O(n^2)$求一个最长非降子序列。再逆序确定dp的具体方案。

2.1：假设方案的下标序列为:$b_1,b_2,...,b_k,(k为最长非降子序列的长度)$.

我们的结论是,对于$b_i$,我们一定是在左边区域找离$b_i$最近的且满足$dp[x]=i-1$的$x$当作$b_{i-1}$.

口胡:
假设有两个位置$x,y$同时满足$dp=i-1$,且$x<y$.那么易知$a[x]>a[y]$一定成立.所以如果选择$y$,那么往后$a[x]$都不会对答案作贡献,但是如果我们选择$x$一定会导致$a[y]$被计算一次贡献.

那么假设选$y$的【变大的个数】为$c$。那么选$x$的【变大的个数】一定$\ge c+1$.(画个图就出来).所以选最近的最好.

3.最后对于非升非降分别处理完后再作一些讨论就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define vi vector<int>
#define vll vector<ll>
#define fi first
#define se second
const int maxn = 2000 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int a[maxn] , dp[maxn] , n;
int solve ()
{
    
    
    memset(dp , 0 , sizeof dp);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
    
    
        dp[i] = 1;
        for (int j = 1 ; j < i ; j++)
            if (a[j] <= a[i]) dp[i] = max(dp[i] , dp[j] + 1);
    }
    return *max_element(dp + 1 , dp + 1 + n);
}
vi gg;
void dfs (int id , int x , int & res)
{
    
    
    if (x == 1) {
    
    
        for (int i = 1 ; i < id ; i++){
    
    
            gg.pb(i);
        }
        return ;
    }
    int nid = n;
    for (int i = id - 1 ; i >= 1 ; i--){
    
    
        if (dp[i] == x - 1){
    
    
            nid = i;
            break;
        }
    }
    for (int i = nid + 1 ; i < id ; i++){
    
    
        if (a[i] < a[nid]) res++;
        gg.pb(i);
    }
    dfs(nid , x - 1 , res);
}
vi calc (int & res)
{
    
    
    int mx = *max_element(dp + 1 , dp + 1 + n);
    int id;
    for (int i = n ; i >= 1 ; i--){
    
    
        if (dp[i] == mx){
    
    
            id = i;
            break;
        }
    }
    gg.clear();
    res = n - id;
    for (int i = id + 1 ; i <= n ; i++){
    
    
        gg.pb(i);
    }
    dfs(id , mx , res);
    sort(gg.begin(),gg.end());
    return gg;
}
int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
    
    
        cin >> a[i];
    }
    int x = solve();
    int res1 = 0;
    vi ans1 = calc(res1);
    reverse(a + 1 , a + 1 + n);
    int y = solve();
    int res2 = 0;
    vi ans2 = calc(res2);

    vi ans;
    int len;
    if (x == n){
    
    
        cout << "Non-descending" << endl;
        return 0;
    }
    if (y == n){
    
    
        cout << "Non-ascending" << endl;
        return 0;
    }
    if (x > y){
    
    
        len = n - x;
        ans = ans1;
    }else if (x < y){
    
    
        len = n - y;
        ans = ans2;
        for (auto & g : ans) g = n - g + 1;
        sort(ans.begin(),ans.end());
    }else if (res1 < res2){
    
    
        len = n - x;
        ans = ans1;
    }else {
    
    
        len = n - y;
        ans = ans2;
        for (auto & g : ans) g = n - g + 1;
        sort(ans.begin(),ans.end());
    }

    cout << len << endl;
    int m = ans.size();
    for (int i = 0 ; i < m ; i++){
    
    
        cout << ans[i];
        if (i == m - 1) cout << endl;
        else cout << " ";
    }
    return 0;
}

C.排序+并查集:

题目大意：

给你两个序列$a,b$.若$min(a_l,a_{l+1},...,a_r)\ge b_{r-l+1}$,则称区间$[l,r]$是好的.问你对于每个区间长度$k,k\in [1,n]$,是否存在长度为$k$的好区间.

题目思路:

1.暴力怎么求?

对于每个确定的$b[i]$.我们将$a$数组中所有$<b[i]$的数都置为$-1$.然后求最长连续的合法区间。令其为$c$.比较$i,c$的大小即可.

2.如果我们对$b$数组降序排序，那么上面对$a$数组的操作就是连续的.可以想象最开始$a$是全$-1$的.然后慢慢向里面放数。每次问最长连续区间.这个部分我们可以带权并查集维护，也可以线段树维护.