剑指Offer系列（java版，详细解析）10.斐波那契数列

题目一

题目描述

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

难度简单108

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

• 0 <= n <= 100

测试用例

• 功能测试（如输入3、5、10等）
• 边界值测试（如输入0、1、2）
• 性能测试（输入较大的数值，如40、50、100等）

题目考点

• 考察应聘者对递归、循环的理解及编码能力
• 考察队时间复杂度的分析能力
• 如果结合实际问题，可能还考察数学建模能力

解题思路

循环求余法：

大数越界： 随着 n 增大, f(n) 会超过 Int32 甚至 Int64 的取值范围，导致最终的返回值错误。

• 求余运算规则： 设正整数 x, y, p ，求余符号为 $\odot$ ，则有 $(x+y)\odot p=(x\odot p+y\odot p)\odot p$ 。
• 解析： 根据以上规则，可推出 $f(n)\odot p=[f(n-1)\odot p+f(n-2)\odot p]\odot p$ ，从而可以在循环过程中每次计算 $sum=(a+b)\odot 1000000007$，此操作与最终返回前取余等价。

参考解题

public class Solution1 {
    
    
    public int Fibonacci(int n) {
    
    
        if (n < 2) {
    
    
            return n;
        }
        int pre1 = 0;
        int pre2 = 1;
        int fib = 0;
        for (int i = 2; i <=n; i++) {
    
    
            fib = pre1 + pre2;
            pre1 = pre2;
            pre2 = fib;
        }
        return fib;
    }

}

题目二

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

题目考点

考察数学建模能力，发现实质是斐波那契数列。

解题思路

与斐波那契数列相同，但是还是需要分析一下：

先分析最简单的情况。如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法。如果有2级台阶，那就有两种跳法，分为每次跳1级，和一次跳两级。

再讨论一般情况，我们把n级台阶时的跳法看成n的函数，记为f(n)。当 n>2 时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的 n-1 级台阶的跳法数目，即为 f(n-1) ，二是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的 n-2 级台阶的跳法数目，即为 f(n-2) 。因此，n级台阶的不同跳法的总数f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

我们马上就可以看出这就是斐波那契数列了。

自己解题

/**
 * 青蛙台阶问题
 */
public class FrogSolution {
    
    

    /**
     * 采用斐波那契解法
     * @param target
     * @return
     */
    public int JumpFloor(int target) {
    
    
        if (target < 3) {
    
    
            return target;
        }
        int pre1 = 1;
        int pre2 = 2;
        int fib = 0;
        for (int i = 3; i <= target; i++) {
    
    
            fib = pre1 + pre2;
            pre1 = pre2;
            pre2 = fib;
        }
        return fib;
    }
}

补充

通常基于递归实现的代码比基于循环实现的代码要简洁很多，更加容易实现。如果面试官没有特殊要求，则应聘者可以采用递归的方法编程，但是我们还是应该以时间复杂度为首要考虑。