DTOJ#5202. 树的解构

传送门

Mivik 喜欢 Eprom 的解构俱乐部，于是他想解构一棵树。

Mivik 找到了一棵以 $1$ 为根的有 $n$ 个结点的有根外向树。Mivik 会进行 $(n-1)$ 次操作，每次 Mivik 都会从未删掉的边中等概率选择一条边将其删去。记这条边为 $a\to b$，则删去这条边的代价是删边时 $b$ 的子树大小（包括 $b$ 自己）；删去这条边后 $b$ 为根的子树会形成一棵新的以 $b$ 为根的有根树。

例如，下图是 Mivik 找到的有根树：

如果 Mivik 选了 $1\to 2$ 这条边并将其删去，那么代价是 $3$（$2$ 所在的子树内共有 $2,4,5$ 三个结点），而后情况会变成这样：

如果 Mivik 此时再删去 $2\to 4$ 这条边，那么代价是 $1$（$4$ 所在的子树内只有 $4$ 一个结点），
随后情况会变成这样：

Mivik 想知道，他进行这 $(n-1)$ 次操作后期望的代价总和是多少。由于 Mivik 不喜欢太大的数，你只需要输出期望的值对 $10^9+7$ 取模的结果。

输入共两行。

第一行一个正整数 $n$，表示给出的有根树的大小。

第二行给出 $(n-1)$ 个正整数，第 $i$ 个数 $a_i$ 表示 $(i+1)$ 号结点在有根树上的父亲是 $a_i$。

输出一行一个非负整数，表示代价的期望对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例输入1

4
1 2 2

样例输出1

4

样例解释1

解构的总代价有 $1/3$ 的概率为 $3$，有 $1/3$ 的概率为 $4$，有 $1/3$ 的概率为 $5$，所以代价的期望为 $4$。

样例输入2

5
1 1 2 2

样例输出2

5

样例3

见选手目录下的 deconstruct/deconstruct3.in 与 deconstruct/deconstruct3.ans。

对于所有测试点，满足 $1\le n\le 2\times 10^6$。保证给出的有根树合法。
每个子任务的具体限制见下表：

子任务编号	分值	特殊限制
$1$	$10$	$a_i=1$
$2$	$15$	$a_i=i$
$3$	$25$	$n\le 500$
$4$	$50$	无

成都七中 noip2020模拟

考虑计算每个点的答案。
据说有神犇瞪眼看出规律为 点 $i$ 的答案是 ${\sum }_j^{dep[i]}\frac{1}{j}$，直接求和即可。
$update:$据说是对于根到 $i$ 的链，考虑每条边贡献的概率即 $\frac{(len-1)!}{len!}$，求和即上式。
但蒟蒻学 $DP$ 学傻了。于是我们考虑预处理 $f[i]$ 表示长为 $i$ 的链末端的答案。
转移即枚举 $i$ 的位置 $f[i]=(\sum f[j-1]\times C_{i-1}^{j-1}\times A_{i-j})+A_i$
展开化简加前缀和优化即可 $O(n)$处理。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 2000006
using namespace std;
inline char GET_CHAR ( void )
{
    
    
    static char buf[1<<23],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2 && (p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<23,stdin),p1==p2) ? EOF : *p1++;
}
inline int read ( void )
{
    
    
	int x=0;char ch;
	while ( !isdigit(ch=GET_CHAR()) ) ;
	for ( x=ch^48;isdigit(ch=GET_CHAR()); ) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
	return x;
}
const int mod=1e9+7;
int jc[N],jcinv[N],f[N];
inline int power(int x,int c){
    
    
	int now=1;
	while(c){
    
    
		if(c&1)now=1ll*now*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;c>>=1;
	}
	return now;
}
inline void init(int n){
    
    
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;
	jcinv[n]=power(jc[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i+1;--i)jcinv[i]=1ll*jcinv[i+1]*(i+1)%mod;
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
		f[i]=sum%mod;
		f[i]=(1ll*f[i]*jc[i-1]%mod+jc[i])%mod;
		sum=(sum+1ll*f[i]*jcinv[i]%mod)%mod;
	}
}
inline int C(int x,int y){
    
    
	if(x<y||y<0)return 0;
	return 1ll*jc[x]*jcinv[y]%mod*jcinv[x-y]%mod;
}
int ans=0,dep[N],n;
int tot,head[N],ver[N<<1],nex[N<<1];
inline void add(int x,int y){
    
    
	nex[++tot]=head[x];head[x]=tot;ver[tot]=y;
}
void dfs(int x,int las){
    
    
	ans=(ans+1ll*f[dep[x]]*C(n-1,dep[x])%mod*jc[n-1-dep[x]]%mod)%mod;
	for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
    
    
		int y=ver[i];
		if(y==las)continue;
		dep[y]=dep[x]+1;
		dfs(y,x);
	}
}
int main(){
    
    
//	freopen("deconstruct.in","r",stdin);
//	freopen("deconstruct.out","w",stdout);
    n=read();
    init(n+1);
    for(int i=2;i<=n;++i){
    
    
    	int x=read();
    	add(x,i);add(i,x);
    }
    dfs(1,0);
	ans=1ll*ans*jcinv[n-1]%mod;
    printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}