多分辨分析:闭的线性子空间的序列，选定的尺度函数
$(\{V_j,j\in Z \},Φ(t)) in L^2(r)$

A：尺度方程的时域形式

$Φ(t)=\sqrt[]{2}\sum_n h_nΦ(2t-n),系数h_n=<Φ(t),\sqrt[]{2} h_nΦ(2t-n)>,n\in Z$
$\{ h_n\} \in l^2(Z)系数序列是固定的点$
频域形式：
$\hatΦ(w)=H(\frac{w}{2})\hatΦ(\frac{w}{2}),其中低通滤波器的脉冲相应序列H(w)=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n h_ne^{-iwn}$
$Φ(t)是尺度函数，其整数平移构成V_0的标准正交基,要求H(w)是共轭滤波器$
$|H(w)|^2+|H(w+\pi)|^2=1$
由此要求，hn应该满足什么性质呢？
https://blog.csdn.net/hedoubibi/article/details/107031279
$|H(w)|^2=(\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n h_ne^{-iwn})(\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_{n_1} \bar h_ne^{+iwn_1})两个级数相乘\\ \frac{1}{2}\sum_n\sum_{n_1h_n \bar {h_{n1}} }e^{-i(n-n1)w},记n-n1=k,k\in Z\\ \frac{1}{2}\sum_k\sum_{n h_n \bar {h_{n-k}} }e^{-ikw}$
$则|H(w)|^2+|H(w+\pi)|^2$
$k是奇数单项为零,k是偶数,l\in Z：\sum_{k=2l}（\sum_{n}{ h_n \bar {h_{n-2l}}） }e^{-i2lw}$
$（\sum_{n}{ h_n \bar {h_{n-2l}}） }= \begin{cases} 1& \text{L是0}\\ 0& \text{L不是0} \end{cases}$
$即 h n 是单位向量$
且
$\{h_n,n\in Z \}垂直 \{h_{n-2l},n\in Z\},l \neq 0$

问以上能构成l^2的正交基吗？

B：小波方程

$Ψ(t)=\sqrt[]{2}\sum_n g_nΦ(2t-n),系数h_n=<Ψ(t),\sqrt[]{2}Φ(2t-n)>,n\in Z$
$\{ g_n\} \in l^2(Z)系数序列是固定的点$
频域形式：
$\hatΨ(w)=G(\frac{w}{2})\hatΦ(\frac{w}{2}),其中带通滤波器的脉冲相应序列H(w)=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n g_ne^{-iwn}$
$(H (w), G (w)) 是正交共轭滤波器组$
Ψ(t)是正交小波的时候
$|G(w)|^2+|G(w+\pi)|^2=1$
同理：
$即 g n 是单位向量$
$\{g_n,n\in Z \}垂直 \{g_{n-2l},n\in Z\},l \neq 0$

C:以上两个合起来构成O.N.B

${Φ(t-n)\}，\{Ψ(t-n1)\}两个序列相互正交$
或
$V_0 正交 W_0$
或
$\bar G(w)+H(w+\pi) \bar G(w+\pi)=1$

D:子空间的分解关系理解

$V_{j+1}=V_{j} \oplus W_{j}$

D:子空间的基之间的关系理解

$V_{j+1}:\{ Φ_{j+1,m} ,m\in Z\} \\ =\\ V_{j}:\{ Φ_{j,k} ,k\in Z\} \\ \oplus \\ W_{j}:\{ Ψ_{j,m} ,k\in Z\}$
$使用V_{j+1}中的基表示V_j和W_j中的基的方程分别为：尺度方程，小波方程$
$尺度方程：Φ(t)=\sqrt{2}\sum_n h_nΦ(2t-n)\\ 形式转换\\ t->2^jt\\ Φ(t-k)=\sqrt{2}\sum_n h_nΦ(2t-(n+2k))->Φ(t-k)=\sqrt{2}\sum_m h_{m-2k}Φ(2t-m)\\ 2^{\frac{j}{2}}Φ(2^jt-k)=\sqrt{2}\sum_m h_{m-2k}*2^{\frac{j}{2}}*Φ(2^{j+1}t-m)=\sum_m h_{m-2k}*2^{\frac{j+1}{2}}*Φ(2^{j+1}t-m)\\ 写成记号\\ Φ_{j,k}(t)= \sum_m h_{m-2k}Φ_{j+1,m}(t)$
$同理：Ψ_{j,k}(t)= \sum_m g_{m-2k}Ψ_{j+1,m}(t)$

D:子空间的向量与基的坐标变换之间的关系理解

F:信号之间的关系

$\forall f(t)\in L^2(R)在V_j中的正交投影为f_j(t)\\ V_{j+1} -f_{j+1}(t),V_{j} -f_{j}(t)\\ 则f_{j+1}(t)=f_j(t)+g_j(t),余向量g_j(t)在W_j空间中\\$

由上得到分解算法和合成算法的公式

正交小波分解算法

$向量的表示：\\ f_{j+1}(t)=\sum_n a_{j+1,n}Φ_{j+1,n}(t)\\ f_{j}(t)=\sum_n a_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ g_{j}(t)=\sum_n d_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ 分解的坐标关系：\\$

分解关系：由a_j+1计算a_j和d_j

由上边的坐标关系出发
$f_{j+1}(t)=f_{j}(t)+g_{j}(t)\\ \sum_n a_{j+1,n}Φ_{j+1,n}(t)= \sum_n a_{j,m}Ψ_{j,m}(t)+\sum_n d_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\$
${\boxed{ 过程：\\ 1.方程两边同乘\barΦ_{j,m_1}(t)dt后积分\\ 2.a_{j,m_1}=\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty} Φ_{j+1,n}(t)\barΦ_{j,m_1}(t)dt\\ }}$
${\boxed{ =\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty} 2^{\frac{j+1}{2}}Φ(2^{j+1}t-n)2^{\frac{j}{2}} \barΦ(2^jt-m_1)dt\\=换元后对\sqrt{2}Φ(2t-n)Φ(t-m_1)的积分 }}$
${\boxed{ 令t_1=t-m_1,对\sqrt{2}Φ(2t_1-(n-2m_1))\barΦ(t_1)dt_1的积分 }}$
${\boxed{ \sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{2}Φ(2t_1-(n-2m_1))\barΦ(t_1)dt_1= \bar{\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{2}\barΦ(2t_1-(n-2m_1))Φ(t_1)dt_1}注意复共轭 }}$
${\boxed{ 则 a_{j，m_1}=\sum_n \bar h_{n-2m_1} a_{j+1,n} }}$
${\boxed{ a_{j，m}=\sum_n \bar h_{n-2m} a_{j+1,n},m\in Z将m_1推广到所有的整数 }}$
${\boxed{ -显然可得-}}$

${\boxed{ d_{j，m}=\sum_n \bar g_{n-2m} a_{j+1,n},m\in Z写点什么好对其进行比较 }}$

合成关系：是分解关系的逆

直接写出来：
${\boxed{ a_{j+1，n}=\sum_m h_{n-2m} a_{j,m}+\sum_m g_{n-2m} d_{j,m},n\in Z }}$

正交性

1.原空间的标准正交基到新的标准正交基的变换是正交变换
2. $(a_j+1)->(a_j,d_j),(a_j+1)在l^2(Z)空间中看是平凡基，而l^2(Z)空间的另一组基\{ \{ g_{n-2l}\},\{ h_{n-2l}\}\},n，l\in Z下的表达记为(a_j,d_j)$

注：
1.
$有些文献中,Φ_{j,m}(t)的表达方式为 2^{-\frac{j}{2}} Φ(2^{-j}t-m)，Φ_{j,m}(t)= 2^{-\frac{j}{2}} Φ(2^{-j}t-m),这时V_{j+1} \subset V_j$

小波算法笔记