伽罗瓦预解式
由 于 a x 2 + b x + c = 0 = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) 由 此 得 出 韦 达 定 理 { x 1 + x 2 = − b a x 1 ∗ x 2 = c a 同 时 对 于 两 个 元 素 x 1 , x 2 的 基 础 对 称 多 项 式 就 是 x 1 + x 2 , x 1 ∗ x 2 在 高 等 代 数 中 有 证 明 ： 任 何 对 称 多 项 式 都 可 以 由 基 础 对 称 多 项 式 表 示 所 以 我 们 希 望 有 另 一 个 对 称 多 项 式 能 和 x 1 + x 2 = − b a 组 合 成 方 程 组 然 后 解 出 来 即 ( x 1 − x 2 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 ∗ x 2 = ( − b a ) 2 − 4 ∗ c a = b 2 − 4 a c a 2 由 此 可 解 出 ( 不 管 正 负 根 ) ： { x 1 = b 2 − 4 a c a 2 − b a 2 x 2 = − b 2 − 4 a c a 2 + b a 2 = − b 2 − 4 a c a 2 − b a 2 由于ax^2+bx+c=0=(x-x_1)(x-x_2) \\ 由此得出韦达定理 \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}& \text{}\\ x_1*x_2=\frac{c}{a}& \text{} \end{cases} \\ 同时对于两个元素x_1,x_2的基础对称多项式就是x_1+x_2,x_1*x_2\\ 在高等代数中有证明：任何对称多项式都可以由基础对称多项式表示\\ 所以我们希望有另一个对称多项式能和x_1+x_2=-\frac{b}{a}组合成方程组然后解出来\\ 即(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1*x_2\\ =(-\frac{b}{a})^2-4*\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{a^2}\\ 由此可解出(不管正负根)：\begin{cases} x_1=\frac{\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}-\frac{b}{a}}{2}& \text{}\\ x_2=-\frac{\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}+\frac{b}{a}}{2}=\frac{-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}-\frac{b}{a}}{2}& \text{} \end{cases} \\ 由于ax2+bx+c=0=(x−x1)(x−x2)由此得出韦达定理{
x1+x2=−abx1∗x2=ac同时对于两个元素x1,x2的基础对称多项式就是x1+x2,x1∗x2在高等代数中有证明：任何对称多项式都可以由基础对称多项式表示所以我们希望有另一个对称多项式能和x1+x2=−ab组合成方程组然后解出来即(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1∗x2=(−ab)2−4∗ac=a2b2−4ac由此可解出(不管正负根)：⎩⎨⎧x1=2a2b2−4ac−abx2=−2a2b2−4ac+ab=2−a2b2−4ac−ab
三次方程的解法：
x 3 + p x 2 + q x + r = 0 的 解 法 同 理 ， 韦 达 定 理 ： { x 1 + x 2 + x 3 = − p x 1 ∗ x 2 + x 1 ∗ x 3 + x 2 ∗ x 3 = q x 1 ∗ x 2 ∗ x 3 = − r 所 以 我 们 仍 希 望 找 个 对 称 多 项 式 解 方 程 组 观 察 二 次 时 x 1 − x 2 的 系 数 是 x 2 = 1 的 根 ， 猜 想 x 1 , x 2 , x 3 的 系 数 仍 是 x 3 = 1 的 根 1 ， w , w 2 （ x 1 + w x 2 + w 2 x 3 ） 3 在 六 种 置 换 下 取 两 个 值 t 1 , t 2 , 不 是 对 称 多 项 式 考 虑 更 换 一 个 “ 更 对 称 的 ” 多 项 式 ， 但 是 除 x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 外 没 有 更 加 对 称 的 了 拉 格 朗 日 给 出 { t 1 + t 2 = − q t 1 ∗ t 2 = p , t 1 , t 2 为 x 2 + p x + q = 0 的 根 所 以 ： 也 就 是 需 要 先 解 能 对 称 的 t 1 和 t 2 的 多 项 式 x 2 + p x + q = 0 ， 解 出 t 1 和 t 2 的 定 值 然 后 对 t 1 和 t 2 开 三 次 方 根 { x 1 + x 2 + x 3 = − p x 1 + w x 2 + w 2 x 3 = t 1 或 t 2 开 三 次 根 x 2 + w x 1 + w 2 x 3 = t 1 或 t 2 开 三 次 根 x 2 + w x 1 + w 2 x 3 = t 1 或 t 2 开 三 次 根 , 左 边 ( x 1 , x 2 , x 3 ) 交 换 正 好 对 应 六 个 值 假 设 ： { x 1 + w x 2 + w 2 x 3 = r 1 3 ⇒ x 1 + w x 2 + w 2 x 3 = r 1 3 x 1 + w x 3 + w 2 x 2 = w r 1 3 ⇒ w 2 x 1 + x 3 + w x 2 = r 1 3 x 2 + w x 1 + w 2 x 3 = w 2 r 1 3 ⇒ w x 2 + w 2 x 1 + x 3 = r 1 3 x 2 + w x 3 + w 2 x 1 = r 1 3 ⇒ x 2 + w x 3 + w 2 x 1 = r 1 3 x 3 + w x 1 + w 2 x 2 = w r 1 3 ⇒ w 2 x 3 + x 1 + w x 2 = w r 1 3 x 3 + w x 2 + w 2 x 1 = w 2 r 1 3 ⇒ w x 3 + w 2 x 2 + x 1 = r 1 3 上 述 式 子 是 不 相 容 的 ： x 1 + w x 2 + w 2 x 3 = r 1 3 ⇒ { w x 1 + w 2 x 2 + x 3 = w r 1 3 w 2 x 2 + x 1 + w x 3 = w 2 r 1 3 对 于 w 3 = 1 , w = − 1 + 3 i 2 有 1 + w + w 2 = 0 调 整 顺 序 使 得 式 子 之 间 相 容 ： { x 1 + w x 2 + w 2 x 3 = r 1 3 x 2 + w x 1 + w 2 x 3 = r 2 3 最 后 解 得 ： x 1 = r 1 3 + r 2 3 , x 2 = w r 1 3 + w 2 r 2 3 , x 3 = w 2 r 1 3 + w r 2 3 x^3+px^2+qx+r=0的解法同理，韦达定理： \begin{cases} x_1+x_2+x_3=-p& \text{}\\ x_1*x_2+ x_1*x_3+x_2*x_3=q& \text{}\\ x_1*x_2*x_3=-r \end{cases} \\所以我们仍希望找个对称多项式解方程组\\ 观察二次时x_1-x_2的系数是x^2=1的根，猜想x_1,x_2,x_3的系数仍是x^3=1的根1，w,w^2\\ （x_1+wx_2+w^2x_3）^3在六种置换下取两个值t_1,t_2,不是对称多项式\\ 考虑更换一个“更对称的”多项式，但是除x_1^3+x_2^3+x_3^3外没有更加对称的了\\ 拉格朗日给出\begin{cases} t_1+t_2=-q& \text{}\\ t_1*t_2=p& \text{} \end{cases},t_1,t_2为x^2+px+q=0的根\\ 所以：也就是需要先解能对称的t_1和t_2的多项式x^2+px+q=0，解出t_1和t_2的定值\\ 然后对t_1和t_2开三次方根 \begin{cases} x_1+x_2+x_3=-p& \text{}\\ x_1+ wx_2+w^2x_3=t_1或t_2开三次根& \text{}\\ x_2+wx_1+w^2x_3=t_1或t_2开三次根 \end{cases}\\ x_2+wx_1+w^2x_3=t_1或t_2开三次根,左边(x_1,x_2,x_3)交换正好对应六个值\\ 假设：\begin{cases} x_1+ wx_2+w^2x_3=\sqrt[3]{r_1} \Rightarrow x_1+ wx_2+w^2x_3=\sqrt[3]{r_1} \\ x_1+ wx_3+w^2x_2=w\sqrt[3]{r_1} \Rightarrow w^2x_1+ x_3+wx_2=\sqrt[3]{r_1} \\ x_2+ wx_1+w^2x_3=w^2\sqrt[3]{r_1} \Rightarrow w x_2+ w^2 x_1+x_3=\sqrt[3]{r_1} \\ x_2+ wx_3+w^2x_1=\sqrt[3]{r_1} \Rightarrow x_2+ wx_3+w^2x_1=\sqrt[3]{r_1} \\ x_3+ wx_1+w^2x_2=w\sqrt[3]{r_1} \Rightarrow w^2x_3+ x_1+wx_2=w\sqrt[3]{r_1} \\ x_3+ wx_2+w^2x_1=w^2\sqrt[3]{r_1} \Rightarrow wx_3+ w^2x_2+x_1=\sqrt[3]{r_1} \\ \end{cases}\\ 上述式子是不相容的： x_1+ wx_2+w^2x_3=\sqrt[3]{r_1} \Rightarrow \begin{cases} wx_1+ w^2x_2+x_3=w\sqrt[3]{r_1} \\ w^2x_2+x_1+wx_3=w^2\sqrt[3]{r_1} \\ \end{cases}\\ 对于w^3=1,w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}有1+w+w^2=0调整顺序使得式子之间相容：\\ \begin{cases} x_1+ wx_2+w^2x_3=\sqrt[3]{r_1} \\ x_2+wx_1+w^2x_3=\sqrt[3]{r_2} \\ \end{cases}\\ 最后解得：x_1=\sqrt[3]{r_1}+\sqrt[3]{r_2},x_2=w\sqrt[3]{r_1}+w^2\sqrt[3]{r_2},x_3=w^2\sqrt[3]{r_1}+w\sqrt[3]{r_2} x3+px2+qx+r=0的解法同理，韦达定理：⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+x3=−px1∗x2+x1∗x3+x2∗x3=qx1∗x2∗x3=−r所以我们仍希望找个对称多项式解方程组观察二次时x1−x2的系数是x2=1的根，猜想x1,x2,x3的系数仍是x3=1的根1，w,w2（x1+wx2+w2x3）3在六种置换下取两个值t1,t2,不是对称多项式考虑更换一个“更对称的”多项式，但是除x13+x23+x33外没有更加对称的了拉格朗日给出{ t1+t2=−qt1∗t2=p,t1,t2为x2+px+q=0的根所以：也就是需要先解能对称的t1和t2的多项式x2+px+q=0，解出t1和t2的定值然后对t1和t2开三次方根⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+x3=−px1+wx2+w2x3=t1或t2开三次根x2+wx1+w2x3=t1或t2开三次根x2+wx1+w2x3=t1或t2开三次根,左边(x1,x2,x3)交换正好对应六个值假设：⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1+wx2+w2x3=3r1⇒x1+wx2+w2x3=3r1x1+wx3+w2x2=w3r1⇒w2x1+x3+wx2=3r1x2+wx1+w2x3=w23r1⇒wx2+w2x1+x3=3r1x2+wx3+w2x1=3r1⇒x2+wx3+w2x1=3r1x3+wx1+w2x2=w3r1⇒w2x3+x1+wx2=w3r1x3+wx2+w2x1=w23r1⇒wx3+w2x2+x1=3r1上述式子是不相容的：x1+wx2+w2x3=3r1⇒{ wx1+w2x2+x3=w3r1w2x2+x1+wx3=w23r1对于w3=1,w=2−1+3i有1+w+w2=0调整顺序使得式子之间相容：{ x1+wx2+w2x3=3r1x2+wx1+w2x3=3r2最后解得：x1=3r1+3r2,x2=w3r1+w23r2,x3=w23r1+w3r2
