第25章《所有节点对的最短路径》: Floyd-Warshall算法，python实现

最短路径

本节讨论有向图$G=(V,E)$上所有节点对最短路径问题的一种动态规划算法。
对于图$G=(V,E)$的所有节点对最短路径问题，一条最短路径的所有子路径都是最短路径。

Floyd-Warshall算法

我们使用一种不同的动态规划公式来解决所有节点对最短路径问题。所产生的算法称为Floyd-Warshall算法。Floyd-Warshall算法对带权重的无向图和有向图都起作用，但是图中不能有环中各边权重之和为负数的环路。
假设有一个graph图如下：

接下来步骤Floyd-Warshall算法找到图中所有节点paris对的最短路径。

Step 1: 创建一个n*n的矩阵$A^0$

其中$n$是节点数量，第$i$行和第$j$列分别代表节点$i$和$j$，矩阵$A$中的每个单元$A[i][j]$代表第$i$个节点到第$j$个节点的距离。如果两个节点之间没有路径，则值为无穷大。
所以对于上面的graph图，我们有得到如下路径矩阵:
$$A^0=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& \infty & 5\\ 2& 0& \infty & 4\\ \infty & 1& 0& \infty \\ \infty & \infty & 2& 0\end{array}\right]$$

Step 2：用矩阵$A^0$创建$A^1$

假如$k$是从原节点到目标节点的最短路径的中间节点，如果$A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]$，则用最新的路径距离更新$A[i][j]$，重新更新最短路径过程中，每次第$k$列和第$k$行值保持不变
$$A^1=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& \infty & 5\\ 2& 0& & \\ \infty & & 0& \\ \infty & & & 0\end{array}\right]-->\left[\begin{array}{cccc}0& 3& \infty & 5\\ 2& 0& 9& 4\\ \infty & 1& 0& 8\\ \infty & \infty & 2& 0\end{array}\right]$$

Step 3：用矩阵$A^1$创建$A^2$

$$A^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& & \\ 2& 0& 9& 4\\ & 1& 0& \\ & \infty & & 0\end{array}\right]-->\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 9& 5\\ 2& 0& 9& 4\\ 3& 1& 0& 5\\ \infty & \infty & 2& 0\end{array}\right]$$

Step 4：用矩阵$A^2$创建$A^3$

$$A^3=\left[\begin{array}{cccc}0& & \infty & \\ & 0& 9& \\ \infty & 1& 0& 8\\ & & 2& 0\end{array}\right]-->\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 9& 5\\ 2& 0& 9& 4\\ 3& 1& 0& 5\\ 5& 3& 2& 0\end{array}\right]$$

Step 5：用矩阵$A^3$创建$A^4$

$$A^4=\left[\begin{array}{cccc}0& & & 5\\ & 0& & 4\\ & & 0& 5\\ 5& 3& 2& 0\end{array}\right]-->\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 7& 5\\ 2& 0& 6& 4\\ 3& 1& 0& 5\\ 5& 3& 2& 0\end{array}\right]$$

$A^4$给定了每两个节点之间的最短距离。

python实现如下：

# -*-coding:utf8 -*-

import sys


INF= float("inf")

class Graph:
	def __init__(self, vertices, graph):
		self.vertices = vertices
		self.graph = graph
		self.distance = list(map(lambda i: list(map(lambda j:j,i)), self.graph))

	def floyd_warshall(self):
		for k in range(self.vertices):
			for i in range(self.vertices):
				for j in range(self.vertices):
					self.distance[i][j] = min(self.distance[i][j], self.distance[i][k]+self.distance[k][j])
	
	def show_result(self):
		for i in range(self.vertices):
			for j in range(self.vertices):
				if (self.distance[i][j] == INF):
					print("INF", end=" ")
				else:
					print(self.distance[i][j], end="  ")
			print(" ")


if __name__=='__main__':
	G = [[0, 3, INF, 5],
		 [2, 0, INF, 4],
		 [INF, 1, 0, INF],
		 [INF, INF, 2, 0]]
	verticies = 4
	example = Graph(verticies, G)
	example.floyd_warshall()
	example.show_result()