1. 前言

网络流，属于图论的一种。

网络流看上去是一个新的东西，实际上就是新瓶装旧酒，相信讲完之后你会发现这玩意的一些基础定义什么的跟 有向图 没啥差别。

因为网络流算法有点多，于是本文在讲述基础定义之外同时提供算法导航，将后续的算法学习笔记添加入本博客中。

2. 详解

首先我们需要明白一点：网络流是个啥？

实际上，网络流就是一张无向图，只不过给图上的东西换了换名字。

比如看看下面这张图。

在这里插入图片描述

（绘图工具：Graph Editor）

看一下这张有向图，这在网络流里面叫做『网络』。

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仔细看一下，你会发现图中有两个特别节点： $s, t$ 。

$s$ 叫做『源点』， $t$ 叫做『汇点』。

图上的边权叫做『流量』。

看不懂没关系，我初学的时候也看不懂，接下来拿一个例子来说明网络流到底是个啥：

假设 $s$ 是一座水库，含有无穷多的水， $t$ 是你家所在的位置，途中有 5 个湖，标号为 $1, 2, 3, 4, 5$ ，假设湖能够存下无穷多的水。

当然，水要流到你家是需要经过一些路径的，但是这些路径不是无限量送水的，比如说从 $s$ 到 $1$ 就只能送 $2$ 单位的水，多的也不能送。

这样就能理解网络流了吧？

这张有向图就是网络流中的『网络』，在网络中『源点』就是水库，『汇点』就是你家，而『流量』就是每条边最多能够通过的水量。

网络流的基础定义就是这些。

导航之前先简要给出网络流中的几个算法：

最大流
最大流就是问从源点到汇点最多能够通过多少流量，也就是到你家最多还剩多少水。
最小割
最小割有一点抽象，主要就是问删掉哪些边使得源点与汇点不再连通，输出边权最小值。
可以证明，最大流=最小割。
最小费用最大流
比如说现在运输要钱了，从一个湖到另一个湖运输是要钱的，请问在满足最大水量的前提下最小的钱数。
上下界网络流
这个时候，每一条边的流量需要在一定范围 $[l, r]$ 内，不能少于 $l$ 也不能多于 $r$ 。
或者你可以简单理解为连接湖的路径上面有些发电站，为了保证发电站正常工作，通过的水流量最少为 $l$ ，但是不能太多以免损坏机器，最多为 $r$ 。

算法导航：

有些算法还没有学习，没有放出标题，等以后吧。