动态规划之投资问题

问题描述

有m个项目，n元钱，函数fk(x)，(<0=x<=n)表示对第k个项目投资x元钱的收益，函数Fm(n)表示对m个项目投资n元钱的最大收益，求对每个项目投资多少钱，并给出Fm(n);

递归关系分析

设数组f[i][j]表示对第i个项目投资j元钱的收益。
设数组F[i][j]表示对i个项目投资j元钱的最大收益。
设数组m[i][j]表示对i个项目投资j元钱最大收益时，第i个项目投资的钱数。
F[i][j]=Max{f[i][k]+F[i-1][j-k]}, 0<=k<=j,i>1;
F[1][j]=f[1][j] , i=1;

代码实现

int MaxProfit(int F[][],int f[][],,int mm,int money)
{
    
    
    for(int i=0;i<=money;i++)
    {
    
    F[1][i]=f[1][i];
     m[1][i]=i;}
	for (int i = 2; i <= mm; i++)
	{
    
    
		for (int j = 0; j <= money; j++)
		{
    
    
			F[i][j] = 0;
			m[i][j] = 0;
			for (int k = 0; k <= j; k++)
			{
    
    
				if (F[i][j] < f[i][k] + F[i - 1][j - k]){
    
    
					F[i][j] = f[i][k] + F[i - 1][j - k];
					m[i][j]=k;}
			}
		}
	}
	return F[mm][money];
}

追踪解

定义x[i]：最优解下，第i个项目投资了多少钱。

void jie(int mm, int money,int x[],F[][])
{
    
    
  for(int i=mm;i>=1;i--)
  {
    
    
    x[i]=m[m][money];
    money=money-x[i];
    cout<<"第"<<i<<"个项目投资了"<<x[i]<<"元钱"<<endl;
  }
  
}

性能分析

时间复杂度：O(nW²),n为项目数，W为钱数;