LeetCode230、寻找第K小的元素（BST的算法思维）

1、题目描述

https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-element-in-a-bst/
在这里插入图片描述

2、解法（对应的思维）

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    
    
    int rank = 0;//记录排名节点
    int res=0;//定义结果的记录
    public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
    
    
        //算法思维——二叉搜索树，无非是利用其中序遍历得到的序列是有序的，同时根据其左子树小于右子树的特性来改良算法的效率

        //选择第k小的树，我们可以利用中序遍历，遍历的次数到达k，说明当前访问的节点的值就是第k小/第k大的数。
        
        if(root==null) return res;
        kthSmallest(root.left,k);
        //
        rank++;
        if(rank == k){
    
    //找到dik小的数直接返回
            res = root.val;
            return res;//提前返回
        }
        kthSmallest(root.right,k);
        return res;


    }
 
}

分析：时间复杂度上看，子问题个数为n，每个问题的计算时间为O（1），总的时间复杂度为O(n)，n为节点个数。实际上我们只需要计算k个节点，k值不太大的情况下，算法较快。

在这里插入图片描述

算法思维——重要
算法思维——二叉搜索树，无非是利用其中序遍历得到的序列是有序的，同时根据其左子树小于右子树的特性来改良算法的效率。比如我们的二叉搜索树的操作效率一般最好的是O(logN)，利用了它左子树小于右子树，同时节点记录了哪些信息，来帮助我们减少计算。

上述题目的优化思路
BST 性质是非常牛逼的，像红黑树这种改良的自平衡 BST，增删查改都是O(logN)的复杂度，让你算一个第k小元素，时间复杂度竟然要O(N)，有点低效了。

看了labuladong的算法小小抄，我知道了它是如何进行优化的：因为我们要寻找第k小的节点的值，如果我们要达到对数级别的复杂度，关键于每个节点得知道它排第几（m），这样，我们在寻找第k小的数时，可以根据其当前节点的排名与我们要找的排名作比较。基于中序遍历的基础：

m==k，显然我们找到了第k排名的元素，返回即可。
k<m，说明我们接下来应该去左子树找，所以去左子树搜索第k个元素。
k>m，说明我们接下来应该去右子树找，所以去右子树搜索第k-m-1个元素。

这样我们就可以实现O(logN)的时间复杂度了，至于如何知道每个节点的排名？这就是我们之前说的，需要在二叉树节点中维护额外信息。每个节点需要记录，以自己为根的这棵二叉树有多少个节点。

也就是说，我们TreeNode中的字段应该如下：

class TreeNode {
    
    
    int val;
    // 以该节点为根的树的节点总数
    int size;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
}

有了size字段，外加 BST 节点左小右大的性质，对于每个节点node就可以通过node.left推导出node的排名，从而做到我们刚才说到的对数级算法。当然，size字段需要在增删元素的时候需要被正确维护，力扣提供的TreeNode是没有size这个字段的，所以我们这道题就只能利用 BST 中序遍历的特性实现了，但是我们上面说到的优化思路是 BST 的常见操作，还是有必要理解的。

参考：labuladong的算法小炒