LeetCode 741 摘樱桃（动态规划）

一个N x N的网格(grid) 代表了一块樱桃地，每个格子由以下三种数字的一种来表示：

0 表示这个格子是空的，所以你可以穿过它。
1 表示这个格子里装着一个樱桃，你可以摘到樱桃然后穿过它。
-1 表示这个格子里有荆棘，挡着你的路。

你的任务是在遵守下列规则的情况下，尽可能的摘到最多樱桃：

从位置 (0, 0) 出发，最后到达 (N-1, N-1) ，只能向下或向右走，并且只能穿越有效的格子（即只可以穿过值为0或者1的格子）；
当到达 (N-1, N-1) 后，你要继续走，直到返回到 (0, 0) ，只能向上或向左走，并且只能穿越有效的格子；
当你经过一个格子且这个格子包含一个樱桃时，你将摘到樱桃并且这个格子会变成空的（值变为0）；
如果在 (0, 0) 和 (N-1, N-1) 之间不存在一条可经过的路径，则没有任何一个樱桃能被摘到。

示例 1:

输入: grid =
[[0, 1, -1],
 [1, 0, -1],
 [1, 1,  1]]
输出: 5
解释： 
玩家从（0,0）点出发，经过了向下走，向下走，向右走，向右走，到达了点(2, 2)。
在这趟单程中，总共摘到了4颗樱桃，矩阵变成了[[0,1,-1],[0,0,-1],[0,0,0]]。
接着，这名玩家向左走，向上走，向上走，向左走，返回了起始点，又摘到了1颗樱桃。
在旅程中，总共摘到了5颗樱桃，这是可以摘到的最大值了。

说明:

grid 是一个 N * N 的二维数组，N的取值范围是1 <= N <= 50。
每一个 grid[i][j] 都是集合 {-1, 0, 1}其中的一个数。
可以保证起点 grid[0][0] 和终点 grid[N-1][N-1] 的值都不会是 -1。

思路分析： 首先我们知道一条路径从前往后走和从后往前走获取的樱桃数是相同的，所以正反走可以看做为两次正走。
刚开始吧，可能大家都会想着把两次路径分开，先走一次获取最大，然后把走过摘取了的樱桃去掉，在走一次获取当前最大的樱桃，最后返回两个结果的和。这样看似没有问题，其实逻辑是存在漏洞的，因为第一次走过的路径会影响第二次的路径。比如：
绿色为第一次走过的获取最大樱桃数路径13，蓝色为第一次获取最大后可获取的最大樱桃数1，总共14.
在这里插入图片描述
然而这个矩阵的解为15

所以我们不能分开求解，需要用两个人同时在矩阵中行走。如果两个人在同一个位置，则这个位置也只能采摘一次，否则两个人所处的位置都能进行樱桃采摘。
由于矩阵的大小是固定的，所以从左上角到右下角在题中的行走规则需要的总步数也是固定的，为gridSize * 2 - 2。
在第step步，假设第一个人在(oneRow, oneCol)，第二个人走到(twoRow, twoCol)，那么一定有oneRow + oneCol == step，twoRow + twoCol == step.
如果oneRow == twoRow，两个人所处的位置相同，否则两个人所处的位置不相同。位置相同时，这个位置只能采摘一次，位置不同两个人所处的位置都进行采摘。

状态转移方程：

dp[oneRow][towRow] = grid[oneRow][oneCol] + grid[towRow][twoCol] + max(dp[oneRow - 1][towRow], dp[oneRow][towRow - 1], dp[oneRow - 1][towRow - 1])

class Solution {
public:
    int cherryPickup(vector<vector<int>>& grid) {
        int gridSize = grid.size(), sumStep = gridSize * 2 - 1;//sumStep代表从左上角到右下角在题中的行走规则需要的总步数
        vector<vector<int>> dp(gridSize, vector<int>(gridSize, -1));
        dp[0][0] = grid[0][0];//初始化第0步
        //第一层循环，表示的行走的步数
        for (int step = 1; step < sumStep; ++step){
            //下面两层循环用于穷举两个人的位置
            for (int oneRow = min(gridSize - 1, step); oneRow >= 0 && oneRow >= step - gridSize + 1; --oneRow){
                for (int towRow = min(gridSize - 1, step); towRow >= 0 && towRow >= step - gridSize + 1; --towRow){
                    //两个人都行走了step步，并且row + col == step，所以知道所处的行就知道所处的列
                    int oneCol = step - oneRow, twoCol = step - towRow;
                    if (grid[oneRow][oneCol] == -1  || grid[towRow][twoCol] == -1){
                        //如果其中有一个人遇到了障碍，此时这种情况就只能作废
                        dp[oneRow][towRow] = -1;
                        continue;
                    }
                    //第一步：首先将step-1步可获得的樱桃数放到step步
                    if (oneRow > 0){
                        dp[oneRow][towRow] = max(dp[oneRow][towRow], dp[oneRow - 1][towRow]);
                    }
                    if (towRow > 0){
                        dp[oneRow][towRow] = max(dp[oneRow][towRow], dp[oneRow][towRow - 1]);
                    }
                    if (oneRow > 0 && towRow > 0){
                        dp[oneRow][towRow] = max(dp[oneRow][towRow], dp[oneRow - 1][towRow - 1]);
                    }
                    //如果在step - 1遇到了障碍，则step步无法行走
                    if (dp[oneRow][towRow] == -1){
                        continue;
                    }
                    //第二步：摘取第step步两个人所处的位置上的樱桃（注意当两个人在同一个位置时，只能摘一次）
                    if (oneRow == towRow){//因为row + col == step，当行相同时，则列必定相同，即两个人在同一个位置
                        dp[oneRow][towRow] += grid[oneRow][oneCol];//只能摘取一次
                    }
                    else{//第step步两人所处的位置的樱桃都摘取
                        dp[oneRow][towRow] += grid[oneRow][oneCol] + grid[towRow][twoCol];
                    }
                }
            }
        }
        return max(dp[gridSize - 1][gridSize - 1], 0);
    }
};

在这里插入图片描述

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