1. 回文串
作为程序员，回文串这个词已经见怪不怪了，就是一个字符串正着读和反着读是一样的，形式如abcdcba、bbaabb。这里涉及到奇回文和偶回文，奇回文指回文串的字符数是奇数，偶回文指回文串的字符数是偶数。前面举的abcdcba就是奇回文，bbaabb就是偶回文。判断一个字符串是否是回文串很简单，只要从字符串的两端开始往中间扫描，全部匹配成功则是回文串，只要有一次匹配失败，那么就不是回文串。代码如下
// 没有对字符串为null或者空串的返回值进行考虑
static boolean Palindrome(String s){
for(int i = 0, j = s.length()-1; i < j; i++, j--){
if(s.charAt(i) != s.charAt(j)){
return false;
}
}
return true;
}2. 最长回文串
在我们了解回文串内容后，如果给你一个字符串，你能不能得到该字符串中的最长回文串呢？
2.1 暴力匹配法
最长回文串简单的解法就是暴力匹配法，依次判断所有字符数大于1个的子串是否回文串，并记录最长的那个回文串。如acbc字符串，得到字符数大于1的子串ac、cb、bc；acb、cbc；acbc，其中cbc是最长回文串。虽然暴力匹配法思路清晰、代码简单，但是如果字符串长度较长时，那么子串的数量是很庞大的，对于一个长度为n的字符串，它的子串有n(n-1)/2个，加上判断子串是否为回文串的时间复杂度是O(n)，所以最终总的时间复杂度是O(n^3)左右。暴力匹配留给大家自行编写代码，博主就偷个懒不写了。
2.2 中心扩散法
中心扩散法是另一种回文串解决方法，算法思路是从字符串的第一个字符一直遍历到最后一个字符，每次从该字符往两边扫描，如果左右两边的值相等，那么往左右两边拓展，直至左右两边的值不相等或者越界，扫描结束，记录此时的左右边界下标，并且记录此时的回文串长度。该方法的时间消耗主要是遍历字符串的每个字符，以及每个字符需要向两边拓展扩散，所以总的时间复杂度为O(n^2)。
图解：以下以abcfcbd字符串遍历到 f 字符进行图解，如下图。
1. 当遍历abcfcbd字符串的 f 字符时，先令left和right都指向 f 字符。
2. 往左右拓展，可以拓展，left往左移，right往右移
3. 可以拓展，继续移动
4. 不可以继续拓展，结束，记录left和right的位置
代码
public String longestPalindrome(String s) {
int len = s.length();
if(len <= 1){
return s;
}
int max = 0;
int[] index = new int[2];
for(int i = 0; i < len-1; i++){
// 考虑奇数回文还是偶数回文，所以分别计算以i为中心，以i和i+1为中心两种方式的回文串
int[] f1 = findSub(s, i, i);
int[] f2 = findSub(s, i, i+1);
int f1Len = f1[1] - f1[0];
int f2Len = f2[1] - f2[0];
// 如果以i为中心的奇回文串长度更长并且大于前面记录的最大回文串长度max，更新max
// 如果以i和i+1为中心的偶回文串长度更长并且大于前面记录的最大回文串长度max，更新max
if((f1Len > f2Len) && (f1Len > max)){
index[0] = f1[0];
index[1] = f1[1];
max = f1Len;
}else if((f1Len <= f2Len) && (f2Len > max)){
index[0] = f2[0];
index[1] = f2[1];
max = f2Len;
}
}
return s.substring(index[0], index[1]+1);
}
static int[] findSub(String s, int left, int right){
// 如果是偶数回文，left和right不等，需要判断一下left和right的值是否相等
if(s.charAt(left) != s.charAt(right)){
return new int[]{left+1, left+1};
}
while((left >= 0) && (right <= s.length()-1) && (s.charAt(left) == s.charAt(right))){
left--;
right++;
}
return new int[]{left+1, right-1};
}2.3 Manacher算法
Manacher算法是一种以O(n)时间复杂度得到最长回文串的算法，以该算法的发明者Manacher老先生名字命名。虽然该算法的解释网上较多，但是有点繁琐和难懂，博主尽量以自己小白的理解力详细地进行说明。我们接下来先说说Manacher算法的主要思想，它到底在哪里进行了优化？然后我们再上代码。接下来我们以dcbcdcbca字符串为例，请耐心阅读。
2.3.1. 对字符串dcbcdcbca先预处理。
在每个字符两旁插入分割符，可以是任意字符，因为博主一开始也觉得分隔符不能是字符串中出现的字符，那这里选取'a'字符作为分割符进行证明，预处理后得到如下字符串str2。
2.3.2. 记录每个字符的回文半径
遍历每个字符时，将每个字符可以向左右两边拓展的长度称为回文半径，使用val数组记录回文半径。则str2的第1个字符到第13个字符回文半径数据值如下图所示。
2.3.3 Manacher算法的优化之处
其实计算str2的第1个字符到第13个字符回文半径时Manacher也有优化，只是接下来更好讲解，所以现在分析。
当扫描到str2的第10个字符d时，此时的回文字符串是acabacadacabaca，如下图所示。
接下来我们要计算str2的第14个字符 b，正常情况下，我们以b为中心向两边拓展；Manacher算法的强大就是在此处进行了优化。
因为b处在axis和right之间，我们可以看看str2第14个b字符关于axis对称的第6个b字符它的回文半径是多少，为什么可以这样呢？
接下来看图解吧，原本以为自己理解了很好描述，但现在发现自己理解而已，要想描述清楚还是有点难，大家看看图解吧！
1. 步骤1
2. 步骤2
3. 步骤3
总结：Manacher算法进行优化的部分主要有两点：①字符串预处理，添加分割符；②利用回文串的对称信息，避免重复计算回文半径。
看来这种算法还是有些难描述的，大家见谅，还是只能多花点时间去消化，Manacher算法最重要一点就是利用对称信息。时间复杂度为啥是O(n)，代码不仅仅有一个for循环，而且有while向左右扫描拓展呀？虽然有while，但只有在无法利用对称信息时才会进入while循环，所以避免了重复扫描已扫描过的区域。
代码
public String longestPalindrome(String s) {
int len = s.length();
int newLen = 2 * len + 1;
// 字符串预处理，得到填充分隔符后的字符数组
char[] newStr = new char[newLen];
for(int i = 0; i < len; i++){
newStr[2*i] = 'a';
newStr[2*i+1] = s.charAt(i);
}
newStr[newLen-1] = 'a';
// ans是最长回文串的回文半径，ansIndex是最长回文串的对称中心
int[] val = new int[newLen];
int axis = 0;
int right = 0;
int ans = 0;
int ansIndex = 0;
for(int i = 0; i < newLen; i++){
// 如果当前遍历字符处于回文串的最远边界内，那么可以利用对称信息
if(i < right){
val[i] = Math.min(val[2*axis-i], right-i+1);
}else{
val[i] = 1;
}
// 没有越界，并且回文串向左右拓展成功，那么回文半径加1
while(i-val[i] >= 0 && i+val[i] < newLen && newStr[i-val[i]] == newStr[i+val[i]]){
val[i]++;
}
// 如果当前遍历字符的边界大于记录的最远边界，更新回文串的最远边界
if(i+val[i]-1 > right){
right = i+val[i]-1;
axis = i;
}
// 记录最长回文串的回文半径和对称中心
if(val[i] > ans){
ans = val[i];
ansIndex = i;
}
}
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for(int i = ansIndex-ans+1; i < ansIndex+ans-1; i++){
sb.append(newStr[++i]);
}
return sb.toString();
}以下是力扣的运行结果
