嘿大家，我又回来了，今天我们来介绍一下并查集，它是一种很高效的算法，值得学习
现在，我们先看看一道题，简单思考一下。
引入
如题，现在有一个并查集，你需要完成合并和查询操作。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N、M，表示共有N个元素和M个操作。
接下来M行，每行包含三个整数Zi、Xi、Yi
当Zi=1时，将Xi与Yi所在的集合合并
当Zi=2时，输出Xi与Yi是否在同一集合内，是的话输出Y；否则话输出N
输出格式：
如上，对于每一个Zi=2的操作，都有一行输出，每行包含一个大写字母，为Y或者N
输入输出样例
输入样例#1：
4 7
2 1 2
1 1 2
2 1 2
1 3 4
2 1 4
1 2 3
2 1 4
输出样例#1：
N
Y
N
Y
说明
时空限制：1000ms,128M
数据规模：
对于30%的数据，N<=10，M<=20；
对于70%的数据，N<=100，M<=1000；
对于100%的数据，N<=10000，M<=200000。
一、思考
看完题目，你可能一头雾水，也可能灵光乍现，我们就先来了解一下什么是并查集：
并查集被很多OIer认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：
合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。
是的，我们可以把并查集理解成是一种集合数据库，里面记录了集合之间的关系。这样说未免让人摸不着头，我们就先来引入一个实际问题
现在有5个人，名叫1，2，3，4，5，他们有各自的老大（老大可以是自己），现在规定，1，2，3共用一个老大，4，5共用一个老大（或者说是共用一个组），我们可以如何表示呢？
是的，我们当然可以把1，2，3存入一个数组叫a，把4，5存入一个数组叫b，但这样未免慢了些，有什么快捷的方法吗？有的，并查集
我们先设置一个数组名叫p，如果要实现用一条数组存储这样的关系，我们可以规定1，2，3的老大是1，4和5的老大是4，那么如果将p的下标定义为人员，内部存的数据定为它的老大，是不是就可以得到这个关系了呢？没错，得到的p就是[1，1，1，4，4]（下标从1到5）。
我们执行查询的时候，比如说我要知道3的老大是谁，我只需要调用p[3]，里面存的就是集合头子。
好的，现在我们已经介绍了查询了，如何合并呢？聪明的你一定想到了，如果我要合并上述第一个和第二个集合，我只需要把第二个集合的内容都改成第一个的头子即可。
二、具体实现
这里find()函数我们要单独拎出来讲讲：
int f[10005];
int find(int k){
return f[k]==k?k:f[k] = find(f[k]);
}
我们注意到find是这样运作的：
1.如果找到的f数组内容就是本身查询的k值（自己就是自己的头子，相当于上述例子p[1]=1），则直接返回k值
2.如果不是，就要去更深层挖掘，也就是我们写的递归程序，令f[k] = find(f[k])，一方面在寻找k的总头子（头子也可能有头子），一方面也直接把找到的值赋给了f[k]，我们管这叫路径压缩
（路径压缩优化后，并查集的时间复杂度已经比较低了，绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决）
代码如下（示例）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[10005];
int find(int k){
if(f[k]==k)return k;
else return f[k] = find(f[k]);
}
int main(){
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i=1;i<=n;i++)f[i] = i;
int type,a,b;
while(m--)
{
scanf("%d%d%d",&type,&a,&b);
if(type==1){
f[find(b)] = find(a);
}else
{
if(find(b)==find(a))
cout << "Y" << endl;
else
cout << "N" << endl;
}
}
return 0;
}
三、拓展题
ZCMU-1435
盟国
Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 592 Solved: 143
世界上存在着N个国家，简单起见，编号从0~N-1，假如a国和b国是盟国，b国和c国是盟国，那么a国和c国也是盟国。另外每个国家都有权宣布退盟（注意，退盟后还可以再结盟）。
定义下面两个操作：
“M X Y” ：X国和Y国结盟 (如果X与Z结盟,Y与Z结盟,那么X与Y也自动结盟).
“S X” ：X国宣布退盟 (如果X与Z结盟,Y与Z结盟,Z退盟,那么X与Y还是联盟).
Input
多组case。
每组case输入一个N和M (1 ≤ N ≤ 100000 , 1 ≤ M ≤ 1000000),N是国家数，M是操作数。
接下来输入M行操作
当N=0，M=0时，结束输入
Output
对每组case输出最终有多少个联盟(如果一个国家不与任何国家联盟,它也算一个独立的联盟)，格式见样例。
Sample Input
5 6
M 0 1
M 1 2
M 1 3
S 1
M 1 2
S 3
3 1
M 1 2
0 0
Sample Output
Case #1: 3
Case #2: 2
拓展题AC代码
在这里我就先上代码了，有能力的同学可以先看，看不懂的话下面我会解释
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e6+5;
int f[maxn],ff[maxn],vis[10000];
int find(int k){
if(f[k]==k)return k;
else return f[k] = find(f[k]);
}
int main(){
int m,n,ca = 1;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
int pos = n;
if(m==0&&n==0)break;
for(int i=0;i<maxn;i++)f[i] = ff[i] = i;
while(m--){
char str[2];
int a,b;
scanf("%s %d",str,&a);
if(str[0]=='M'){
scanf("%d",&b);
int fa = find(ff[a]);
int fb = find(ff[b]);
if(fa!=fb)f[fa] = fb;
}else if(str[0]=='S')
{
ff[a] = pos;
f[pos] = pos;
pos++;
}
}
set<int>s;
for(int i=0;i<n;i++)
s.insert(find(ff[i]));
printf("Case #%d: %d\n",ca++,s.size());
}
return 0;
}
思路讲解
我们可以看到，现在这是一个关于数集合的树，可以得到一个关系，2，3，4的老大是1，5和6的老大是4，如果我们现在要实现删除的操作，我们该怎么做呢？
删除操作比合并操作稍微复杂一点。
首先，我们已经用f数组保存了原来结点间的关系（2，3，4的老大是1，5和6的老大是4），现在我们想要让4从这个关系图中剔除，我们就需要新建一个数组ff[]，里面存储的就是最新的关系
也就是说，删除操作要这样执行
ff[a] = pos;
f[pos] = pos;
pos++;
//pos就是从n开始增大，因为题目数据范围是0 to n-1
我们首先让ff内的a指向pos，（pos已经在原有数据范围之外了），我们可以理解为a这个数据被流放了，同时在f数组执行f[pos] = pos，使得让pos的老大就是本身，这样在find运行时可以作为一个独立的个体
我们用一个形象的比喻：
澳大利亚是英国殖民时期的罪犯流放地，但刚开始并没有罪犯对吧。现在，英国本来有6个小混混，他们之间的关系如上图，现在4号小混混（小头子）放下了杀人罪，被法律规定要流放到澳大利亚，成为那里第一个犯人，于是，执行官（也就是ff数组把ff[4]=7标记了）把4送到了7这个地方流放了，也就是新开辟的澳大利亚区域，但是，尽管4号小头子被流放了，它两个手下5和6的总头子仍然是1，为了以后警察能通过f数组仍然找到最大的头子1，f数组原来数据范围内的数据是不会有变化的，只是会添加一条 f[pos] = pos，意味着如果澳大利亚警察找4的头子，那还是会找到4本身的。
接下来讲讲稍微简单的合并操作
int fa = find(ff[a]);
int fb = find(ff[b]);
if(fa!=fb)f[fa] = fb;
我们可以注意到，fa是在ff数组（最新的犯罪记录，用了上面的例子了）里用find函数查找a的头子（注意：find函数用的还是f数组，原因上面已经讲过了），fb同理，如果头子相同，那么不必执行操作，如果不同，就要在f数组里面记录a的头子就是b的头子（其实反过来也是对的）
总结
今天介绍了了并查集的简单入门，查询，合并和删改，并做到了一些应用，后面那个例子讲的可能不是非常恰当，但希望能帮助你理解。
如有出错，希望在评论区告知，希望能给你们派上用场。