CF4D Mysterious Present 题解

这道题是一道二维 LIS 问题。

我们知道，一维的 LIS 有 $O(n^2)$ 和 $O(n\log n)$ 两种解法。考虑到这道题要输出方案，而且 $1\le n\le 5000$，那么在这道二维的 LIS 问题当中我们可以使用 $O(n^2)$ 的算法来解决这道题。

下面的所有叙述都只考虑 $w_i>w,h_i>h$ 的物品。

那么根据一维 LIS 问题的知识，我们可以推出状态转移方程：

f i = max ⁡ { f j + 1 ∣ j < i , w j < w i , h j < h i } f_i = \max\{f_j+1|j<i,w_j<w_i,h_j<h_i\} fi​=max{ fj​+1∣j<i,wj​<wi​,hj​<hi​}

初始 $f_i=1$。

但是你这样写你会发现样例都过不去。为什么？

看看样例二或者英文题面，你就会发现 物品顺序可以调换。

因此我们这道题要稍微改一下。

面对这种题目，要使上升子序列长度最大化，我们就需要首先按照 $w$ 升序排序，这样我们控制住了 $w$ ，只需要考虑 $h$。

所以我们的状态转移方程就要改写成这样：

f i = max ⁡ { f j + 1 ∣ j < i , h j < h i } f_i = \max\{f_j+1|j<i,h_j<h_i\} fi​=max{ fj​+1∣j<i,hj​<hi​}

如果你认为这个转移方程是对的，那么恭喜你，掉坑里了。

因为题目中很明确的告诉你了：求最长二维严格上升子序列及其长度。

或许有的读者会问了：我不是已经按照 $w$ 排序了吗？为什么这样还是错的？

理由很简单：如果 $w_i=w_{i+1},h_i<h_{i+1}$，那么此时 $i,i+1$ 不符合题目要求，但是根据上面的转移方程我们会统计。

因此最后我们的状态转移方程是这样的：

f i = max ⁡ { f j + 1 ∣ j < i , h j < h i , w j ≠ w i } f_i = \max\{f_j+1|j<i,h_j<h_i,w_j \ne w_i\} fi​=max{ fj​+1∣j<i,hj​<hi​,wj​​=wi​}

或者这样：

f i = max ⁡ { f j + 1 ∣ j < i , h j < h i , w j < w i } f_i = \max\{f_j+1|j<i,h_j<h_i,w_j < w_i\} fi​=max{ fj​+1∣j<i,hj​<hi​,wj​<wi​}

而对于那些 $w_i\le w$ 或者 $h_i\le h$ 的，直接过滤即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 5000 + 10;
int n, f[MAXN], las[MAXN], wz, hz, cnt;
struct node
{
    
    
	int w, h, id;
}a[MAXN];

int read()
{
    
    
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
    
    if (ch == '-') fh = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
    
    sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return sum * fh;
}

bool cmp(const node &fir, const node &sec)
{
    
    
	if (fir.w ^ sec.w) return fir.w < sec.w;
	return fir.h < sec.h;
}

void print(int k)
{
    
    
	if (k == -1) return ;
	print(las[k]); printf("%d ", a[k].id);
}

int main()
{
    
    
	n = read(), wz = read(), hz = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
    
    
		int w = read(), h = read(); las[i] = -1;
		if (w <= wz || h <= hz) continue;
		a[++cnt].w = w; a[cnt].h = h; a[cnt].id = i;
	}
	if (cnt == 0) {
    
    printf("0\n"); return 0;}
	sort(a + 1, a + cnt + 1, cmp);
	for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
	{
    
    
		f[i] = 1;
		for(int j = 1; j < i; ++j)
		{
    
    
			if (a[j].w < a[i].w && a[j].h < a[i].h && f[j] + 1 > f[i])
			{
    
    
				f[i] = f[j] + 1;
				las[i] = j;
			}
		}
	}
	int ans = 0, flag = 0;
	for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
	{
    
    
		if (f[i] > ans)
		{
    
    
			ans = f[i];
			flag = i;
		}
	}
	printf("%d\n", ans); print(flag);
	return 0;
}