Floyd判圈法(Floyd Cycle Detection Algorithm)

  Floyd判圈算法(Floyd Cycle Detection Algorithm)，又称龟兔赛跑算法(Tortoise and Hare Algorithm)。可用于判定链表、迭代函数、有限状态机中是否有环。如果有环，可以找出环的起点，求出环的长度。

  基本思想：利用了快慢指针的思想。两个人在赛跑，A速度快，B速度慢，若是存在环(勺状图)，A和B总是会相遇的，相遇时A所经过的路径的长度要比B多若干个环的长度。

• 算法时间复杂度：令S到P的距离为m，环的长度为n，时间复杂度O(m+n）,即O(n);
• 空间复杂度：O(1);

1. 判定是否存在环

  使用两个指针，一个慢指针（龟）每次前进一步，快指针（兔）指针每次前进两步（两步或多步效果等价，只要一个比另一个快就行。但如果移动步数增加，算法的复杂度可能增加）。如果两者在链表头以外（不包含开始情况）的某一点相遇（即相等），那么链表有环；如果（快指针）到达了链表的结尾（存在结尾，一定无环），那么没环。

例题传送门：力扣141. 环形链表

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
    
    
public:
    bool hasCycle(ListNode *head) {
    
    
        if(head == nullptr) return false;
        ListNode *slow=head, *fast=head->next;
        while(fast != nullptr && fast->next != nullptr) {
    
    
            if(slow == fast)    return true;
            slow = slow->next;
            fast = fast->next->next;
        }
        return false;
    }
};

2. 环的长度

  在求得有环的基础上，可以求环的长度$C$。令快指针fast不动，慢指针slow向后遍历节点，再次和fast指针相等时，统计慢指针slow推进的步数，就是环的长度。

class Solution {
    
    
public:
	int cycleLen(ListNode* head) {
    
    
		ListNode* meetPnt = hasCycle(head);
		if(meetPnt == nullptr) return 0;
		ListNode* travelPnt = meetPnt->next;
		int cycleSize = 1;
		while(travelPnt != meetPnt) {
    
    
			travelPnt = travelPnt->next;
			cycleSize++;
		}
		return cycleSize;
	}
private:
    ListNode* hasCycle(ListNode *head) {
    
    
        if(head == nullptr) return nullptr;
        ListNode *slow=head, *fast=head->next;
        while(fast != nullptr && fast->next != nullptr) {
    
    
            if(slow == fast)    return slow;
            slow = slow->next;
            fast = fast->next->next;
        }
        return nullptr;
    }
};

3.环的起点

  假设出发起点到环起点的距离为 $m$，已经确定有环，且环的长度 $n$ 经上已求得。第一次相遇的起点距离环的距离为 $k$。那么当两者相遇时，慢指针在时间$t$移动的总距离为 $t=m+a\ast n+k$，快指针在相同时间移动的总距离为 $2t=m+b\ast n+k$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为慢快指针在首次相遇时走的环的圈数。那么有$t=(b-a)\ast n$， 即 $t$ 和 $m+k$ 是环的长度的倍数。
  为了找到环的起点，一个指针回到链表起点 $S$，另一指针在当前首次相遇位置 $M$。同时向前，步幅为1，他们再次相遇一定在环的起点。因为从链表起点 $S$ 到环的起点 $P$ 的距离是 $m$，从 $P$ 到 首次相遇点 $M$ 的距离是 $k$，因为 $m+k$ 是环长的整数倍，所以当从起点出发的指针走过距离 $m$ 的时候，另一指针也一定达到了 $P$ 点（同时差k步到达首次相遇点）。