C++之vector扩容分析

内存为$vector$容器分配了一块连续的空间，每一个元素紧挨着前一个元素存放，$size()$表示$vector$容器中存放的元素个数，$capacity()$表示内存为$vector$容器分配的空间所能存放的元素个数，当$vector$容器中存放的元素个数达到了$capacity()$规模，则需要对$vector$容器进行扩容操作，即内存重新分配一块更大的空间，将$vector$原先存放的元素拷贝到新分配的空间。
不同的编译器所实现的扩容方式也不同，常见的有1.5倍扩容和2倍扩容。
假设当容器中元素的个数为n时，需要对其进行扩容处理，每次扩容成倍地增加内存和增加一个固定大小的内存，其时间复杂度都为$O(n)$，但是为什么要选择前者而非后者，这涉及到分摊时间复杂度的概念。
下面以两倍扩容和固定大小取2为例，假设我们执行了n次push_back操作，如下图所示：

第n次:	n	n
…	…	…
第9次:	9	9
第9次:	8	8
第7次:	7	7
第6次:	6	6
第5次:	5	5
第4次:	4	4
第3次:	3	3
第2次:	2	2
第1次:	1	1

红色部分为元素个数达到capacity()，再执行push_back需要进行扩容操作。

左边一列为两倍扩容执行push_back操作：

当插入n个元素时，大概需要进行$lo{g}_{2}n$次扩容，每次需要复制$2^i$个元素，则一共需要复制元素的次数为
$\sum _{i=1}^{lo{g}_{2}n}{2}^i=2(n-1)$
则平均每次插入需要执行$\frac{2(n-1)}{n}$次复制,
即平均每次执行push_back的时间复杂度为$O(1)$

右边一列为每次固定增长大小为2的扩容执行push_back操作：

当插入n个元素时，大概需要进行$n/2$次扩容，每次需要复制$2i$个元素，则一共需要复制的元素个数为
$\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}}{2}^i=(1+\frac{n}{2})n$
则平均每次插入需要执行$1+\frac{n}{2}$次复制，
即平均每次执行push_back的时间复杂度为$O(n)$

相比于2倍扩容，1.5倍扩容在分配新内存时能够利用前面使用过的内存

前面使用过的内存:
$1+m+m^2+m^3+\cdots +m^{n-1}=\frac{m^n-1}{m-1}$
新分配的内存:
$m^n$
2倍扩容$(m=2)$:
$2^n-1<2^n$
前面使用过的内存不够用于新内存的分配。
1.5倍扩容$(m=1.5)$：
$2(1.5^n-1)>1.5^n$
解得
$n>lo{g}_{1.5}2$
即第$lo{g}_{1.5}2$次之后扩容，可以用前面使用过的内容用于新内存的分配。