Codeforces Round #701 (Div. 2) F. Copy or Prefix Sum (map优化dp)

题意：

给定一个数组b，求有多少个数组a，对于任意$1\le i\le n$,满足$a[i]=b[i]$或$\sum _{j=1}^{i}a[j]=b[i]$ 。

容易看出是$dp$，但难在怎么去优化 $dp$

题解：

设$dp[i][j]$表示前 i 项之和为 j 的方案数，那么就可以写出两种状态转移：

$dp[i][j]=dp[i-1][j-b[i]]$

$dp[i][b[i]]=\sum _{j=-inf}^{inf}(j\ne 0)dp[i-1][j]$

但是数据范围很大，不能真的这么写，怎么办？

不难发现，第一个转移式其实就是将所有的 $j$ 平移$b[i]$,而第二个式子就是将除了$j=0$之外的所有 $j$ 放到了$b[i]$上。

我们只需要维护答案之和ans和$j=0$的贡献，那么下一次的答案就是 $ans+=ans-dp[i-1][0]$。

问题就在于怎么维护呢？

既然每次转移本质就是平移$b[i]$位，那么我们就用map去维护相对于最初状态平移量的值就行。用 $res$ 表示距离最初状态的平移量，那么当前$j=0$的时候最初的位置就是 $0-res$，那么就是 $ans+=ans-map[0-res]$,对于第二个式子，$b[i]$在最初的位置就是$b[i]-res$，那么就要更新一下值，$map[b[i]-res]+=ans-map[0-res]$。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<ctime>
#define iss ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>pii;
const int MAXN=1e5+2;
const int mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
map<ll,ll>dp;

int main()
{
    
    
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
    
    
        int n;
        cin>>n;
        dp.clear();
        ll res=0;
        ll ans=1;
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
    
    
            int b;
            cin>>b;
            ll pre=(ans-dp[0-res]+mod)%mod;
            res+=b;
            ans=(ans+pre)%mod;
            dp[b-res]=(dp[b-res]+pre)%mod;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }     
}