前言
大家好，又是我。
想必大家都有要兑换积分的时候，比如商场的购物积分、运营商那里的话费积分，抑或是学校的积分卡、课程学习的点数等等，那么，假设商品 / 礼品不限量，我们怎么才能尽可能地把积分花到一分不剩呢？
其实这个也是老师布置的结课作业之一，我在网上搜索相关关键字，但好像没有看到类似的文章，于是想着来抛砖引玉一下。
下面把老师的作业要求放上来：
- 用户在购物网站上有消费积分m，最近网站推出积分换购的活动。换购商品的种类数是不确定的，如：“双肩包”下架了，但又增加了“香皂”、“牙刷”等。
- 每种商品换购的次数不限，如：换购“新款毛巾”10条、12条、100条，都可以。
- 用户积分换购后几乎都会有剩余，找出换购后积分损失最小的前5种组合。
具体实现过程
思路
个人不是很聪明，隐约感觉这个和“零钱兑换”有点相似，但不是很确定。
嗯，有人说这个可以用动态规划……抱歉，这个我不会（目前还搞不懂）；只会枚举法。
嗯，那就枚举法了。
当然，我也知道，枚举法耗时很高，甚至可能等不到尽头，但好在我们只要求若干可行方案。实践表明，一般很快就可以计算得出需要的结果。
说到枚举法，那一定要用到循环啦，而如若是多种商品，那就要用到多重循环了；而这里有一个问题就是，商品的数目不定，那如何才能实现不定数量的多重循环呢？我决定采用递归的方法来实现。
同时，为了避免超时，我将程序设置成找到5个“最优解”——即剩余积分为0的结果——就终止计算并输出结果。然而，在和同学的交流的过程中，我发现一些比较特殊的情况，在简单的枚举法下还是容易超时；
a. 当遇到无论如何也会有剩余积分的时候，且积分总量很大（即商品价值全为10的倍数，而积分不是）时，不能终止运算，造成不必要的时间复杂度；
b. 当遇到商品价值全部相同，而积分不能被其整除，也会导致一直枚举完全部情况
c. 当商品价值全为偶数，而积分是奇数时；
还有一个不知道算不算bug的问题，就是商品的价值取值丰度不够，而积分过大，可能会导致超时（估计这是枚举法不可避免的缺陷）。
商品数据读入与存储
下面来写程序吧，我们先捡简单的做，就从数据读入存储做起；
首先，老师的要求是用结构体来存储数据，我这里定义了一个叫spInfo的数据类型；
struct spInfo
{
char name[256];
int value;
};
然后定义一个结构体数组spList。商品的初始数据可以通过初始化的形式写进程序，比如这样：
#define MAX_SP_NUM 256
spInfo spList[MAX_SP_NUM] = {
{
"Towels",380},
{
"Tooth Paste",260},
{
"Pencil",80}
};
不过，有了之前学生信息管理大作业的经验，为何不做成从文件读取呢？这样方便修改，方便从网站上复制粘贴信息下来，总之较为用户友好；当然，也可以选择键盘输入。接下来我要介绍文件读入的方法，如果不需要请跳过接下来的部分。
首先，我们的文件需要写成这个样式，文件名这里设为了splist.txt：
双肩包 = 8288
移动电源 = 7909
不锈钢保温杯 = 8699
新款毛巾 = 678
滋润型护肤霜 = 721
trim()、str2num()是自己写的函数，用来修剪掉字符串首末的空格与换行。str2num()可以用stdlib.h里面的atoi()代替。详情参见我写的学生信息管理……
void trim(char* strIn, char* strOut) // support in-place opreation
{
char *a=strIn, *b;
while (*a == ' '||*a == '\n' || *a == '\t') a++; // ignore spaces at the beginning
b = strIn + strlen(strIn) - 1; // get pointer pointing at the end of the line
while (*b == ' '||*b == '\n' || *a == '\t') b--; // ignore spaces at the end
while (a<=b) *strOut++ = *a++; // transplace
*strOut='\0';
}
load_spList()用来执行文件读取。
int load_spList(const char* filePath = "splist.txt")
{
FILE *fp = fopen(filePath,"r");
char buffer[512]; //缓冲区，用来读入文件的一行
char tmp[512]; //临时字符数组
int k=0;
while(!feof(fp))
{
fgets(buffer, sizeof(buffer), fp);
char *src = buffer;
char *dst = tmp;
while (*src == ' ') src++; //ignore spaces
if (*src =='\n') continue; //ignore empty line;
trim(buffer,buffer);
while (*src != '=') *dst++ = *src++;
*dst = '\0';
trim(tmp,tmp);
strcpy(spList[k].name,tmp);
src = str2num(src, &spList[k].value);
k++;
}
return k;
}
枚举的递归实现
下面声明了一些全局变量、数组，用来存储数据和结果；
#define RESULT_NUM 5
int results[RESULT_NUM][MAX_SP_NUM + 1];
int tmp_result[MAX_SP_NUM];
int results_index = 0;
int best_results = 0;
int EXPECT_REMAIN = 0;
RESULT_NUM 是用来限定要求输出方案的数目，results数组用来存储结果（其每行最后的那个位置用来存放剩余积分），tmp_result用来存储当前讨论过程中的商品兑换数量，results_index用来表示现在存放结果的数组中到了第几行，best_results用来记录已经找到的最优方案，EXPECT_REMAIN用来设定最佳方案应当剩余的积分数（应对上文提出的会引起超时的问题）。
下面放送核心函数a()，用来执行递归操作。函数的操作可以这样理解，对第1件商品，先假设买n件，积分减减，然后调用递归讨论下一件，买m件……直到到了出口条件：积分用光，或者达到最优的情况，或者商品枚举完毕。
据此，我们的函数应该直到这样几个事：
- 当前讨论的商品序号
- 总商品数
- 剩余积分
- 结果记录表 ——已设为全局变量
当然，我这里想到这几种，你也可以根据你的想法设置自己需要的变量。
注：update_plan()函数用来完成向结果存储数组的誊写。
void update_plan(int tot_sp, int now_sp_index, int now_credit, int results_index)
{
//写入结果，同时避免写入tmp_result里面来自上一次讨论的无意义的结果
for (int p = 0; p<= now_sp_index - 1; p++ ) results[results_index][p] = tmp_result[p];
//把其他的部分置零，因为结果存储数组里可能会有之前没那么优秀的结果的数据
for (int p = now_sp_index; p< tot_sp; p++) results[results_index][p]=0;
//最后一个位置存放剩余的积分数
results[results_index][MAX_SP_NUM] = now_credit;
}
void a(int tot_sp,int now_sp_index, int now_credit)
{
if (best_results == RESULT_NUM) return; //已经找够了，就退出
// 如果剩余积分达“最佳状态”，或者讨论完了所有商品：
if (now_credit <= EXPECT_REMAIN || now_sp_index == tot_sp )
{
//如果这是个最佳结果，则“最佳结果”数加一
if (now_credit == EXPECT_REMAIN) best_results++;
//如果结果存储数组还没有满
if (results_index < RESULT_NUM)
{
update_plan(tot_sp,now_sp_index,now_credit,results_index);
results_index++;
}
else //否则得看有没有可以替换的数据
{
int max_remain_i = 0;
for (int w=0; w < RESULT_NUM; w++) //遍历结果数组，看谁的剩余积分最多
{
if (results[w][MAX_SP_NUM] > results[max_remain_i][MAX_SP_NUM]) max_remain_i = w;
}
if(now_credit<results[max_remain_i][MAX_SP_NUM]) //如果当前找到的方案比它优秀，那么就更新
update_plan(tot_sp,now_sp_index,now_credit,max_remain_i);
}
return;
}
//从当前商品能兑换的最大量开始讨论
for (int i = now_credit/spList[now_sp_index].value; i >=0 ; i--)
{
tmp_result[now_sp_index]=i; //假设购买i件当前商品
//往下一层递归
a(tot_sp, now_sp_index+1, now_credit - spList[now_sp_index].value*i);
//递归函数终止后，会回到上一级，然后进入下一个循环，即商品数-1，然后接着讨论
}
}
main函数
经过一些尝试性的运算可以得知，如果积分很多，商品价值的种类有一定丰度，很容易就能花光所有积分 ；如果积分不多，那么就算商品很多，整个枚举过程很快就能结束（可以想一下，因为兑换不了几个，所以递归很快就能终止）。
int main()
{
//首先读入的商品的信息
int tot_sp = load_spList();
//设置三个标签，对应前文所提到的特殊情况
int flag_1 = 1; //假设所有商品都是10的倍数
int flag_2 = 1; //假设所有商品价值均相等
int flag_3 = 1; //假设所有商品价值全为偶数
//输出读取到的商品信息
printf("# Items: \n");
for (int i=0;i<tot_sp;i++)
{
printf("%5d | %s\n",spList[i].value,spList[i].name);
if (spList[i].value%10 != 0) flag_1 = 0;
if (i>0) if (spList[i].value != spList[i-1].value) flag_2 = 0;
if (spList[i].value % 2 == 1) flag_3 = 0;
}
printf("# Total %d items;\n",tot_sp);
//获取用户积分数
int m;
printf("# Please input the credits you've got: ");
scanf("%d",&m);
//设定“最佳剩余积分”，即积分不可能少于这个
if (flag_1 == 1) EXPECT_REMAIN = m % 10;
if (flag_3 == 1 && flag_1 != 1) EXPECT_REMAIN = m % 2;
if (flag_2 == 1) EXPECT_REMAIN = m % spList[0].value;
// 比如，积分不是10的倍数，但恰好商品全是10的倍数，
// 则剩余积分不可能为0，最好情况也只可能是m%10。
//benchmark(m,tot_sp,flag_1,flag_2,flag_3);
//跑分函数用来检测有没有会被卡住的情况，该函数的definition见下个部分
//开始运算
a(tot_sp,0,m);
//运算结束，输出结果
printf("\n");
int cnt = 1; //记录输出方案的个数
for(int i=0;i<results_index;i++)
{
if(results[i][MAX_SP_NUM]==m) continue; //跳过积分没有被使用的情况
printf("# Plan %d:\n",cnt++); //输出方案序号
int remain = m;
for (int j=0;j<tot_sp;j++)
{
if (results[i][j] == 0) continue; //不输出没有兑换的商品
printf("- %5d * %9d | %s\n",results[i][j],spList[j].value,spList[j].name);
//remain -= results[i][j] * spList[j].value;
//设置一个remain，用来校验是否计算正确，可以去掉它，直接使用数组中存储的那个结果
}
printf ("# Remain credits: %d\n", results[i][MAX_SP_NUM]);
//printf ("# Remain credits: %d\n",remain);
printf("\n");
}
printf("# Finished!\n");
if(cnt == 0) printf("# No solution can be found!\n");
return 0;
}
跑分：检测算法性能
加入了跑分函数，可以用来检测程序是否会被从1到m之间的某个数卡住。貌似没啥用。
int benchmark(int m, int tot_sp, int flag_1, int flag_2, int flag_3)
{
if (flag_1 == 1) EXPECT_REMAIN = m % 10;
if (flag_3 == 1 && flag_1 != 1) EXPECT_REMAIN = m % 2;
if (flag_2 == 1) EXPECT_REMAIN = m % spList[0].value;
for (int i=1;i<m;i++)
{
a(tot_sp,0,i);
printf ("credits: %8d, Bingo! \n",i);
results_index = 0;
best_results = 0;
memset(results,0,sizeof(results));
memset(tmp_result,0x00,sizeof(tmp_result));
}
}
最后
可能有人说，你这个算法不行，结果都是随便找到的解，那我想兑换自己想要的怎么办？
对于这种情况，我觉得可以先把自己想要的东西兑换后，把积分减去，然后再次运行这个程序就好了；再者，我只负责帮你把积分花干净，没有说能够帮助你做出最心仪的选择呀。
如果你喜欢它，可以拿它去试一下，看能不能在生活中用到（估计没什么人用——“剩点积分怎么了，为了那点儿东西还要写个程序，太麻烦了！”）。还可以做一些优化，比如结果先排序再输出，比如可以预先把想要的商品“兑换”掉等等。总的来说，这个程序能够应付大多问题，虽然还是会有卡住的情况，如果你不幸 / 有幸遇到了，可以在下面留言。