倪文迪陪你学蓝桥杯2021寒假每日一题：2.1日（2019省赛A组第10题）

2021年寒假每日一题，2017~2019年的省赛真题。本文内容由倪文迪（华东理工大学计算机系软件192班）和罗勇军老师提供。每日一题，关注蓝桥杯专栏: https://blog.csdn.net/weixin_43914593/category_10721247.html

每题提供C++、Java、Python三种语言的代码。

2019省赛A组第10题“组合数问题” ，题目链接：
http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1461
https://www.dotcpp.com/oj/problem2303.html

1、题目描述

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给$n,m,k$，求有多少对$(i,j)$满足$1\le i\le n,0\le j\le min(i,m)$且$C_i^j\equiv 0(modk)$，$k$ 是质数。其中$C_i^j$是组合数，表示从$i$个不同的数中选出 $j$ 个组成 一个集合的方案数。

输入：第一行两个数 t, k，其中 t 代表该测试点包含 t 组询问，k 的意思与上文中 相同。
接下来 t 行每行两个整数 n, m，表示一组询问。
输出：输出 t 行，每行一个整数表示对应的答案。由于答案可能很大，请输出答 案除以 $10^9+7$ 的余数。
数据规模：
40%：$1\le k\le 100,1\le t\le 10^5,1\le n,m\le 2000$
100%：$1\le k\le 10^8,1\le t\le 10^5,1\le n,m\le 10^{18}$

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2、组合数的计算

  式子$C_i^j\equiv 0(modk)$中符号“$\equiv$”的意思是同余，这个式子的意思是$C_i^j$能整除$k$。
  同余的概念和题目，参考博文：https://blog.csdn.net/weixin_43914593/article/details/107642766
  组合数的定义是：$C_i^j=\frac{i!}{j!\times (i-j)!}$
  有多种计算方法。
  （1）直接按定义算。因为有大数，用Python写代码。例如计算$C_{50}^{20}$，得47129212243960：

temp = 1   #组合数
i,j = 50,20
for p in range(1,i+1): temp *=p     #求i!
print(temp)
for p in range(1,j+1): temp //=p     #除j!
for p in range(1,i-j+1): temp //=p   #再除以(i-j)!
print(int(temp))

https://blog.csdn.net/qq_36477987/article/details/89521273

  直接算是不好的，因为阶乘增长极快，例如$12!=479,001,600$。
（2）按递推式计算：$c(i,j)=c(i-1,j-1)+c(i-1,j)$。复杂度$O(nm)$。例如计算$C_{2000}^{600}$：

c = [[0 for i in range(2001)] for i in range(2001)] #用于记录组合数c[n][m]
Mod = int(1e9+7)
n,m =2000, 600
for i in range(n+1):
      c[i][0]=1
      c[i][i]=1
for i in range(1,n+1):    #递推计算所有组合数
   for j in range(1,m+1):
         c[i][j]= (c[i-1][j-1]+c[i-1][j])% Mod;
print(c[n][m])

3、小规模代码

   本题有40%的小规模数据，$1\le n,m\le 2000$，复杂度$O(nm)$够用。下面是C++代码，能得到一点分数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Mod = 1e9+7;
int c[2010][2010];  //记录组合数c[n][m]
int main(){
    
    
    int n,m,t,k;
    cin >> t >> k;

    int nn=2000,mm=2000;   //小规模
    for(int i=0;i<=nn;i++){
    
    
        c[i][0]=1;
        c[i][i]=1;
    }
    for (int i =1;i<=nn;i++)   //打表，提前计算出所有组合数
        for(int j =1;j<=mm;j++)
            c[i][j]= (c[i-1][j-1]+c[i-1][j]) % k;  //直接对k取余

    while(t--){
    
    
        cin >> n >> m;
        int ans=0;
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int i=j;i<=n;i++)
                if(c[i][j] == 0)
                    ans++;
        cout << ans % Mod;
    }
    return 0;
}

4、lucas定理

   当$1\le n,m\le 10^{18}$时，显然用上面的递推方法计算组合数$C_i^j$是不可能的。
   其实学过数论的队员一看本题，就知道它几乎是一道lucas定理的裸题。lucas定理就是求极大的组合数$C_n^m$对p取余。
   因为较为复杂，本文不做解析。请参考博文https://www.freesion.com/article/92161191517/