倪文迪陪你学蓝桥杯2021寒假每日一题：1.10日（2017省赛A第8题）

2021年寒假每日一题，2017~2019年的省赛真题。
本文内容由倪文迪（华东理工大学计算机系软件192班）和罗勇军老师提供。

后面的每日一题，每题发一个新博文，请大家看博客目录：https://blog.csdn.net/weixin_43914593

2017省赛A类第8题，题目链接：
包子凑数 http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1322

1、题目描述

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  给出N个整数，每个整数有无限多个。任取一些整数相加，得到大于等于1的数。问有多少个数得不到。如果得不到的有无限多个，输出“INF”；否则输出得不到的数量。
  例如给出4、5，它们组合不能得到的数有6个：1, 2, 3, 6, 7, 11。其他的数都能通过4，5组合得到。

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看下面的题解前请先自己编码求解。

2、题解

  倪文迪的话：“本题为DP，同时考察了素数、最大公约数的性质。如果给出的n个数的最大公约数不为1，必定恒有数字不被覆盖，这一点可以用来判断结果是否为INF。剩下的问题就是n个数的背包，通过状态转移求解即可。”
  罗勇军老师的话：题目分两步，（1）判断结果是否为INF；（2）如果不是INF，统计数量。考点是“数论gcd+简单DP”。

2.1 什么时候答案不是INF

  什么时候答案不是INF？也就是说，除了少数一些整数无法组合得到，其他所有的整数都能得到。
  首先看2个数$a、b$的情况，结论是：若$gcd(a,b)=1$，则答案不是INF。

  以两个数4、5为例，任取$x$个4和$y$个5($x,y\ge 0$)，它们能组合得到的数是：
  $4x+5y=c$
  若把$c$看成常数，这是一个二元一次方程。
  关于二元一次方程（又称为二元线性丢番图方程），请阅读这篇博文：线性丢番图方程。
  博文给出了二元一次方程$ax+by=c$有整数解的定理：设$a，b$是整数且$gcd(a,b)=d$，如果$d$不能整除$c$，那么方程$ax+by=c$没有整数解，如果$d$能整除$c$，那么存在无穷多个整数解。
  显然，如果$gcd(a,b)=1$，由于1能整除所有整数，此时$ax+by$能得到所有整数。
  在例子$4x+5y=c$中，因为$gcd(4,5)=1$，那么不管$c$是什么整数，都存在整数解$x、y$，也就是说答案不是INF。
  不过，$x、y$的解可能是负整数，而本题要求$x、y$是非负整数。
  下面证明：当$c$很大时，肯定有$x、y$的非负整数解。
  在博文线性丢番图方程中指出，当$gcd(a,b)=1$时，$ax+by=c$的通解是：
  $x=x_0+bn$
  $y=y_0-an$
  其中$n$是任意整数，而$x_0$、$y_0$是一个特解，它显然满足：$a{x}_0+b{y}_0=c$.
  两式分别乘以$a、b$，得：
  $ax=a{x}_0+abn$
  $by=b{y}_0-abn$
  取$n$是一个正整数，有$ax=a{x}_0+abn\ge 0$，即$x$是非负的。而：
  $by=c-a{x}_0-abn$
  当$c$很大时，$by$也是非负的，即$y$是非负的。
  以上证明了$c$很大时，存在$x、y$的非负整数解。

  以上讨论了给定2个数的情况，若给定多个数$a、b、e、f、$…可以推导出结论：$gcd(a,b,e,f,...)=1$时，答案是非INF。

2.2 统计

  给定多个数$a、b、e、$…时，计算所有$ax+by+ez+...$的值，最后统计出没有被计算出的整数的数量即可。
  编码很简单。例如$a$，把它所有的倍数$i=a、2a、3a、......$都算一遍。$b、e、$…也一样。
  用$dp[i]=1$表示第$i$个整数被计算出来了，最后统计没有被算过的$dp[i]$。

3、C++代码

  OJ运行时间4ms。

//newoj User: ln2037
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 13000;
int a[maxn];
int dp[maxn]={
    
    0};

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    int g = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++)  //计算所有数的gcd
        g = __gcd(g, a[i]);
    if(g != 1) {
    
    
        cout << "INF";
        return 0;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
    
      //dp[i]:第i个整数是否被计算出来
        dp[a[i]]= 1;
        for(int j = 0; j + a[i] < 10000; j++)
            if(dp[j]) {
    
    
                dp[j + a[i]] = 1;
            }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i < 10000; i++)
        if(dp[i] == 0)  
            ans++;
    cout << ans;
    return 0;
}

4、Java代码

  OJ上运行时间1.4s。

//newoj User: __admin
import java.util.Scanner;

public class Main{
    
    
    public static int gcd(int a, int b) {
    
    
        if(b == 0)  return a;
        else return gcd(b, a%b);
    }

    public static void main(String args[]) {
    
    
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int[] arr = new int[105];

        arr[1] = in.nextInt();
        int d = arr[1];
        for(int i = 2; i <= n; i++)        {
    
    
            arr[i] = in.nextInt();
            d = gcd(d, arr[i]);
        }

        if(d != 1)
            System.out.print("INF");
        else {
    
    
            long dp[] = new long[10005];
            dp[0] = 1;

            for(int i = 1; i <= n; i++)
                for(int j = arr[i]; j <= 10000; j++)
                    dp[j] += dp[j-arr[i]];

            int res = 0;
            for(int i = 1; i <= 10000; i++)
                if(dp[i] == 0)
                    res ++;
            System.out.print(res+"\n");
        }
    }
}

5、Python代码

  OJ运行时间0.7s。注意看为什么Python代码这么短。

#new oj User: 20192031003
def gcd(a,b):
    if b==0:return a
    else:return gcd(b,a%b)
 
n=int(input())
numlist=[]
for i in range(n):
    numlist.append(int(input()))
gcdnum=numlist[0]
for i in range(1,n):
    gcdnum=gcd(gcdnum,numlist[i])
if gcdnum!=1:
    print("INF")
    exit()
baozinum=[0]*10001
baozinum[0]=1
for num in numlist:
    for i in range(0,10001):
        if baozinum[i]==1 and i+num<=10000:
            baozinum[i+num]=1
print(10001-sum(baozinum))