复杂度分析（1）

复杂度分析（1）

一、题目：

多层循环的运行规律，分析多层循环的复杂度。 for(i=1;i<n;i++) for(j=1;j<i;j++)
for(k=1;k<j;k++)
printf("\n"); 问printf语句共执行了几次？这段代码执行完以后i+j+k值为多少？

二、思路与分析
如果直接用一个计数器去计数printf，那么必定会超时。但是仔细观察，不难发现其中的规律，得出数学计算公式。从而用O(1)的算法解决问题。
首先是printf执行的次数，输入n从1-300，次数为：0，0，0，1，4，10~，仔细琢磨可以看到次数为：
①n<=3时，为0。 ②n>3 时，为x*(x+1)*(x+2)/6，其中x=n-3。
而i+j+k=：0，0，3，6，9~~~~，所以①n>2时，为3*（n-1）；②否则为RANDOM。
三、算法实现与代码
（大致代码）

long long n,cnt;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
    
    
        cnt=0;
        if(n>3)
        {
    
    
            n=n-3;
            cnt=n*(n+1)*(n+2)/6;
            n=n+3;
        }
        else cnt=0;
        if(n>2)
            printf("%lld %lld\n",cnt,3*(n-1));
        else
            printf("%lld RANDOM\n",cnt);
    }

四、算法分析：
时间复杂度：由于都为公式解决，所以时间复杂度与输入n无关，与输入次数有关。为O(1).
空间复杂度：除了算法本身以外辅助空间为几个变量，故空间复杂度为O(1)。

五、小结
这两个题目，让我在编程时感受到了数学的魅力，仔细观察，善于总结。
复杂度（2）与这个题类似，同样的解法，故不做多余解题分析。