两点边值问题求解

原问题

$-u^{\prime \prime }(x)+u(x)=e^x(\sin x-2\cos x),0⩽x⩽\pi$
$u(0)=0,u(\pi )=0$

求解思路

一阶收敛速度下的迭代思想方法

$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& & & \\ -1& 2+h^{2}q\left(x_1\right)& -1& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1& 2+h^{2}q\left(x_{m-1}\right)& -1\\ & & & 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_0\\ u_1\\ ⋮\\ u_{m-1}\\ u_m\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ h^{2}f\left(x_1\right)\\ ⋮\\ h^{2}f\left(x_{m-1}\right)\\ \beta \end{array}\right)$
综合上述问题易得，h=π/n、q(x)=1。

一阶实现代码

%n为步数，h为步长 Au=E，u为数值解，u1解析解。
%power乘冥 diag短矩阵，用法diag（V，k）将向量V放入到第k条对角线上。

%步长取pi/10
n=10;
h=pi/n;

%构造系数矩阵A三对角矩阵，由a、b、c三条对角角线组成
a=ones(n+1,1);
b=zeros(n,1);
c=zeros(n,1);

for i=2:n
    a(i,1)=2+power(h,2);
end

for i=1:n-1
    b(i,1)=-1;
end

for i=2:n
     c(i,1)=-1;
end
B=diag(a);
C=diag(b,-1);
D=diag(c,1);
A=B+C+D;

%构造系数向量组E
%迭代函数f（x）=exp(x).*(sin(x)-2cos(x))

d=zeros(n+1,1);
for i=2:n
    d(i,1)=power(h,2)*exp(h*(i-1)).*(sin(h*(i-1))-2*cos(h*(i-1)));
end

%求数值解向量u
u1=A\d;

%步长取pi/20
n=20;
h=pi/n;

%构造系数矩阵A三对角矩阵，由a、b、c三条对角角线组成
a=ones(n+1,1);
b=zeros(n,1);
c=zeros(n,1);

for i=2:n
    a(i,1)=2+power(h,2);
end

for i=1:n-1
    b(i,1)=-1;
end

for i=2:n
     c(i,1)=-1;
end
B=diag(a);
C=diag(b,-1);
D=diag(c,1);
A=B+C+D;

%构造系数向量组E
%迭代函数f（x）=exp(x).*(sin(x)-2cos(x))

d=zeros(n+1,1);
for i=2:n
    d(i,1)=power(h,2)*exp(h*(i-1)).*(sin(h*(i-1))-2*cos(h*(i-1)));
end

%求数值解向量u
u2=A\d;

%步长取pi/40
n=40;
h=pi/n;

%构造系数矩阵A三对角矩阵，由a、b、c三条对角角线组成
a=ones(n+1,1);
b=zeros(n,1);
c=zeros(n,1);

for i=2:n
    a(i,1)=2+power(h,2);
end

for i=1:n-1
    b(i,1)=-1;
end

for i=2:n
     c(i,1)=-1;
end
B=diag(a);
C=diag(b,-1);
D=diag(c,1);
A=B+C+D;

%构造系数向量组E
%迭代函数f（x）=exp(x).*(sin(x)-2cos(x))

d=zeros(n+1,1);
for i=2:n
    d(i,1)=power(h,2)*exp(h*(i-1)).*(sin(h*(i-1))-2*cos(h*(i-1)));
end

%求数值解向量u
u3=A\d;

%步长取pi/10
n=80;
h=pi/n;

%构造系数矩阵A三对角矩阵，由a、b、c三条对角角线组成
a=ones(n+1,1);
b=zeros(n,1);
c=zeros(n,1);

for i=2:n
    a(i,1)=2+power(h,2);
end

for i=1:n-1
    b(i,1)=-1;
end

for i=2:n
     c(i,1)=-1;
end
B=diag(a);
C=diag(b,-1);
D=diag(c,1);
A=B+C+D;

%构造系数向量组E
%迭代函数f（x）=exp(x).*(sin(x)-2cos(x))

d=zeros(n+1,1);
for i=2:n
    d(i,1)=power(h,2)*exp(h*(i-1)).*(sin(h*(i-1))-2*cos(h*(i-1)));
end

%求数值解向量u
u4=A\d;
%求解析解u(x)=exp(x)*sin(x)
x1=0:pi/10:pi;
x2=0:pi/20:pi;
x3=0:pi/40:pi;
x4=0:pi/80:pi
t=0:0.001:pi;
y=exp(t).*sin(t);
% plot(x1,u1,'*',t,y,'r')
% legend('pi/10','解析解')
plot(x4,u4,'*',t,y,'r')
legend('pi/80','解析解')





    

二阶收敛速度下的迭代思想方法

$\left(\begin{array}{ccccc}2+h^{2}g\left(x_1\right)& -1& & & \\ -1& 2+h^{2}q\left(x_2\right)& -1& & \\ \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1& 2+h^{2}q\left(x_{m-2}\right)& -1\\ & & & -1& 2+h^{2}q\left(x_{m-1}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_{m-2}\\ u_{m-1}\end{array}\right)$
$=\left(\begin{array}{c}{h}^{2}f\left(x_1\right)+\alpha \\ h^{2}f\left(x_2\right)\\ ⋮\\ h^{2}f\left(x_{m-2}\right)\\ h^{2}f\left(x_{m-1}\right)+\beta \end{array}\right)$

综合上述问题易得，h=π/n、q(x)=1。

二阶实现代码

%n为步数，h为步长 Au=E，u为数值解，u1解析解。
%power乘冥 diag短矩阵，用法diag（V，k）将向量V放入到第k条对角线上。

%步长取pi/10
n=80;
h=pi/n;

%构造系数矩阵A三对角矩阵，由a、b、c三条对角角线组成
a=ones(n-1,1);
b=zeros(n-2,1);
c=zeros(n-2,1);

for i=1:n-1
    a(i,1)=2+power(h,2);
end

for i=1:n-2
    b(i,1)=-1;
end

for i=1:n-2
     c(i,1)=-1;
end
B=diag(a);
C=diag(b,-1);
D=diag(c,1);
A=B+C+D;

%构造系数向量组E
%迭代函数f（x）=exp(x).*(sin(x)-2cos(x))
%apha beta都是0，不做特别处理
d=zeros(n-1,1);
for i=1:n-1
    d(i,1)=power(h,2)*exp(h*(i)).*(sin(h*(i))-2*cos(h*(i)));
end

%求数值解向量u
u1=A\d;
u11=zeros(n+1,1);
for i=2:n
    u11(i,1)=u1(i-1,1);
end
x1=0:pi/n:pi;
t=0:0.001:pi;
y=exp(t).*sin(t);
plot(x1,u11,'*',t,y,'r')
legend('pi/80','解析解')

实验结果

迭代结果

“一阶无穷小”差分形式不同步长下的数值解与解析解如下图所示：

“二阶无穷小”差分形式不同步长下数值解与解析解如下图所示：

误差收敛速度

以“一阶无穷小”差分为例，（同理得到二阶限于时间精力在此省去）如下表1所示：

不难得到收敛速度为0（$h^2$）

小结

本次实验通过分别用“一二阶无穷小”差分法格式对两点边值问题进行求解，通过本次实验加深了笔者数值分析方面的理论与实践知识，但在进一步的误差分析上，实验仍有待提高。