【最小乘积生成树】BZOJ2395[Balkan 2011] Timeismoney

【题目】
原题地址
有 $n$ 个城市(编号从 $0..n-1$ )， $m$ 条公路(双向的)，从中选择 $n-1$ 条边，使得任意的两个城市能够连通，一条边需要的 $c$ 的费用和 $t$ 的时间，定义一个方案的权值 $v=(n-1$ 条边的费用和) $*$ $(n-1$ 条边的时间和)，你的任务是求一个方案使得 $v$ 最小

【题目分析&学习】
假装自己学了一波东西：最小乘积生成树。
以下转自：dalao的BLOG

最小乘积生成树定义

有一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，每条边有 $k$ 个权值。
现在要取一个边集M使得其将所有点连通，并使
$\prod_{i=1}^k (\sum_j^{j\in M} cost(j,{val_i}) )$ 最小
即个边集的每一种边权的总和的乘积最小。

比如：
$k=1$ 时，就是裸最小生成树。
$k=2$ 时，就是要使 [边集的权值1的和]*[边集的权值2的和] 最小。

最小乘积生成树的一种求法：

广义上的说法：
首先我们可以把每种生成树想成一个 $k$ 维的点，第 $i$ 维的坐标即那一维上权值的和。
然后我们可以先求出每一维坐标最小的一棵生成树（裸上最小生成树就好），
然后得到一个 $k-1$ 维的面，然后我们来求一下离这个面最远的点，然后分治下去……据说期望很快……

二维最小乘积生成树的求法：

给每一棵生成树都定义两个权值 $X、Y$ ，其中 $X$ 为其包含的所有边的权值 $x$ 的和， $Y$ 为其包含的所有边的权值 $y$ 的和，那么我们可以把每一种生成树看成一个坐标。
我们先求出坐标 $x$ 最小的一棵生成树，再求出坐标 $y$ 最小的一棵生成树。
然后我们可以考虑，最优的点一定在下凸包上【证明一】，然后我们要进行一个不断向左下拓展点的过程：对于两个点 $A、B$ 形成的直线，我们可以找出在这条直线左下的最远的点 $C$ ，然后对 $AC、CB$ 递归做同样的过程，直到找不到一个在左下的点 $C$ 为止。

然后如何找一个最远的点C呢？——由于C离AB最远，所以S△ABC面积最大。就是让 $\vec{AB}\times\vec{AC}$ 最小

\begin{aligned} (3) & \vec{A B} \times \vec{A C} & = (B . x - A . x) * (C . y - A . y) - (B . y - A . y) * (C . x - A . x) \\ (4) & = C . x * (A . y - B . y) + C . y * (B . x - A . x) + (. . .) \end{aligned}

$\begin{align} \vec{AB}\times\vec{AC}& =(B.x-A.x)*(C.y-A.y)-(B.y-A.y)*(C.x-A.x)\\ & =C.x*(A.y-B.y)+C.y*(B.x-A.x)+(...) \end{align}$

(. . .)

$(...)$ 是只与

A, B

$A,B$ 有关的量，可以看做常数。
因此我们将所有边权设为

a [k] . x * (A . y - B . y) + a [k] . y * (B . x - A . x)

$a[k].x*(A.y-B.y)+a[k].y*(B.x-A.x)$ ，然后求最小生成树就行了。
边界

\vec{A B} \times \vec{A C} \geq 0

$\vec{AB}\times\vec{AC}\ge0$

【证明一】
每个点 $(x_i,y_i)$ 都对应一条函数曲线 $k_i=x_i?y_i$ ，而任意两不同 $k_i$ ，它们的函数曲线是不交的（有交的话则存在一点 $(x_j,y_j)$ 使得 $k_i=x_j?y_j=k_j$ 而 $k_i!=k_j$ 成立，显然这是悖论），那么显然最优点肯定不会在凸包内，否则必有凸包上一点比它优。
那么会不会求出这个某种意义上的凸包后，最优点在凸包外，却没被找到呢？
不会。
若有这种情况，此点必然在凸包上某边的左下方，然后一定会被找出来。。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int INF=1e9;
const int N=205;
const int M=1e5+5;
int n,m;
int fa[N];

struct Tway
{
    int x,y,c,t;
    LL v;
};
Tway e[M];

struct Tpoint
{
    LL x,y;
};
Tpoint ans,A,B;

bool cmp(Tway X,Tway Y)
{
    return X.v<Y.v;
}

int findf(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=findf(fa[x]);
}

Tpoint Better(Tpoint X,Tpoint Y)
{
    if((X.x*X.y==Y.x*Y.y && X.x>Y.x) || X.x*X.y>Y.x*Y.y)
        return Y;
    return X;
}

Tpoint Kruscal()
{
    Tpoint O=(Tpoint){0,0};
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i)   
        fa[i]=i;
    int now=1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int fx=findf(e[i].x),fy=findf(e[i].y);
        if(fx==fy)
            continue;
        fa[fx]=fy;
        O.x+=e[i].c;O.y+=e[i].t;++now;
        if(now==n)
            break;
    }
    ans=Better(ans,O);
    return O;
}

LL cross(Tpoint a,Tpoint b,Tpoint c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}

void solve(Tpoint X,Tpoint Y)
{
    LL tx=Y.x-X.x,ty=X.y-Y.y;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        e[i].v=1ll*e[i].c*ty+1ll*e[i].t*tx;
    Tpoint O=Kruscal();
    if(cross(O,X,Y)>=0)
        return;
    solve(X,O);
    solve(O,Y);
}

int main()
{
//  freopen("BZOJ2395.in","r",stdin);
//  freopen("BZOJ2395.out","w",stdout);

    ans.x=ans.y=INF;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].c,&e[i].t);
        ++e[i].x;++e[i].y;e[i].v=e[i].c;
    }
    A=Kruscal();
    for(int i=1;i<=m;++i)
        e[i].v=e[i].t;
    B=Kruscal();
    solve(A,B);
    printf("%lld %lld\n",ans.x,ans.y);

    return 0;
}

不知道高维的情况应该怎样写呢？貌似还没有这种题出来呢。