最短路径算法Dijkstra+堆优化
Dijkstra算法的输入是一张图和一个源点，输出是该点到图中所有点的最短路径长度。
算法的主要思想是贪心选择，每次选择源点可达的路径长度最短的未访问过的点，以该点为中间结点更新源点到其余各点的最短路径长度。
代码如下，图使用邻接表存储
const int N = 1e5+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Node{
int to, w;
};//to指向另一端的结点, w表示边的长度
vector<Node> g[N];//邻接表存储图
int n, m, s;//n-结点数, m-边数, s-源点
int d[N];//记录源点s到图中所有结点的最短路
bool vis[N];//在Dijkstra算法中用于记录结点是否访问
void Dijkstra_1(int s) {
memset(d, 0x3f, sizeof(d));//初始距离设为INF
d[s] = 0;//源点到源点的距离为 0
while (1) {
//寻找没有访问过的、可达的最短路径
int k = -1, curmin = INF;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (d[i] < curmin && vis[i] == false) {
curmin = d[i];
k = i;
}
}
if (k == -1) break;//找不到, 算法结束
vis[k] = true;
//以该点为中间结点更新最短路径
for (int i = 0; i < g[k].size(); i++) {
int to = g[k][i].to;
int w = g[k][i].w;
if (d[to] > d[k] + w) {
d[to] = d[k] + w;
}
}
}
}
在寻找源点可达的路径长度最短的、未访问的结点时，每次都是遍历所有结点，此处可以使用堆优化。
代码如下
const int N = 1e5+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Node{
int to, w;
};//to指向另一端的结点, w表示边的长度
vector<Node> g[N];//邻接表存储图
int n, m, s;//n-结点数, m-边数, s-源点
int d[N];//记录源点s到图中所有结点的最短路
bool vis[N];//在Dijkstra算法中用于记录结点是否访问
void Dijkstra_2(int s) {
memset(d, 0x3f, sizeof(d));//初始距离设为INF
d[s] = 0;//源点到源点的距离为 0
//使用优先队列实现堆, 默认以pair的first从大到小排序
priority_queue< pair<int, int> > q;
q.push(make_pair(0, s));//源点放入堆中
while (!q.empty()) {
pair<int, int> t = q.top(); q.pop();
int from = t.second;
if (vis[from]) continue;//跳过已经访问过的结点
vis[from] = true;
//以该点为中间结点更新最短路径
for (int i = 0; i < g[from].size(); i++) {
int to = g[from][i].to;
int w = g[from][i].w;
if (d[to] > d[from] + w) {
d[to] = d[from] + w;
if (vis[to] == false) {
//first以负数存储, d小的反而大, 在堆顶
q.push(make_pair(-d[to], to));
}
}
}
}
}
总结
Dijkstra算法是求最短路径较快的算法，在算法竞赛中一般需要使用堆优化的实现方式才能避免TLE。需要注意Dijkstra算法无法处理负环的情况，一般使用SPFA算法判断负环，如果没有负环，还是使用Dijkstra算法较好，有些题目会出现卡SPFA的样例。