解题报告 (七) 矩阵快速幂【入门】

一、矩阵快速幂 算法讲解

夜深人静写算法（二十）矩阵快速幂

二、矩阵快速幂 解题报告

HDU 1575 Tr A

• 链接：HDU 1575 Tr A
• 题意：给定一个矩阵 $A$，求 $A^k$ 对角线元素的和模 $9973$ 的值；
• 难度：★☆☆☆☆
• 题解：矩阵二分快速幂模板题，二分求解后累加对角线元素即可；

POJ 3070 Fibonacci

• 链接：POJ 3070 Fibonacci
• 题意：$F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\ge 2)$，求 $F_n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000$。
• 难度：★☆☆☆☆
• 题解：矩阵二分快速幂模板题，直接构造系数矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ 后二分求解；

HDU 2157 How many ways??

• 链接：HDU 2157 How many ways??
• 题意：给定一个有向图，求 $a$ 到 $b$ 经过 $k$ 步的方案数；
• 难度：★☆☆☆☆
• 题解：利用矩阵求有向图路径数的模板题。利用邻接矩阵的转置构造矩阵，然后对这个矩阵进行 $k$ 次幂求解；

HDU 1757 A Simple Math Problem

• 链接：HDU 1757 A Simple Math Problem
• 题意：有函数 f(x) 满足如下：
  $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& x<10\\ a_{0}f(x-1)+a_{1}f(x-2)+...+a_{9}f(x-10)& x>=10\end{array}$$
• 给定 $a_0到a_9$ 和两个正整数 $k(2\times 10^9)、m(m<10^5)$，求 $f(k)\%m$；
• 难度：★☆☆☆☆
• 题解：一维递推类问题，构造矩阵如下：
  $$\left[\begin{array}{c}f(x)\\ f(x-1)\\ ...\\ f(x-8)\\ f(x-9)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_1& ...& a_8& a_9\\ 1& 0& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(x-1)\\ f(x-2)\\ ...\\ f(x-9)\\ f(x-10)\end{array}\right]$$
• 继续化简后得到：
  $$\left[\begin{array}{c}f(x)\\ f(x-1)\\ ...\\ f(x-8)\\ f(x-9)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_1& ...& a_8& a_9\\ 1& 0& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 1& 0\end{array}\right]}^{x-9}\left[\begin{array}{c}f(9)\\ f(8)\\ ...\\ f(1)\\ f(0)\end{array}\right]$$
• 构造矩阵后进行二分求解，再乘上列向量，得到列向量的第一个元素就是答案；

POJ 2118 Firepersons

• 链接：POJ 2118 Firepersons
• 题意：给定数列 $a_0,a_1,a_2...a_{k-1}$ 和 数列 $b_1,b_2,b_3...b_k$，并且在 $n>=k$ 的时候满足：
  $$a_n=\sum _{i=1}^k{a}_{n-i}{b}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000$$
• 给出 $n$，求 $a_n$ 的值；
• 难度：★☆☆☆☆
• 题解：直接构造矩阵如下：

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\\ ...\\ a_{n-k+2}\\ a_{n-k+1}\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccccc}{b}_1& b_2& ...& b_{k-1}& b_k\\ 1& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& ...& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{n-1}\\ a_{n-2}\\ ...\\ a_{n-k+1}\\ a_{n-k}\end{array}\right]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000\\ & =A^{n-k+1}\left[\begin{array}{c}{a}_{k-1}\\ a_{k-2}\\ ...\\ a_1\\ a_0\end{array}\right]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10000\end{array}$$

• 直接上矩阵二分；

HDU 5015 233 Matrix

链接：HDU 5015 233 Matrix
题意：对于一个 $n\times m$ 的矩阵$(n<=10,m<=10^9)$，矩阵第一行是 $233,2333,23333...$，并且知道矩阵的值满足
$$a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}(i,j>0)$$
给出$a_{1,0},a_{2,0},...,a_{n,0}$，求 $a_{n,m}\%10000007$；

• 难度：★★☆☆☆
  题解：$n$ 很小，$m$ 很大，所以一般能联想到 $n$ 为矩阵阶数，$m$ 作为二分的幂，进行矩阵构造;
  根据给出的规则，有
  $$\begin{array}{rl}{a}_{i,j}& =a_{i-1,j}+a_{i,j-1}(i,j>0)\\ & =(a_{i-2,j}+a_{i-1,j-1})+a_{i,j-1}\\ & =(a_{i-3,j}+a_{i-2,j-1})+a_{i-1,j-1}+a_{i,j-1}\\ & ...\\ & =a_{0,j}+a_{1,j-1}+...+a_{i-1,j-1}+a_{i,j-1}\\ & =a_{0,j}+\sum _{k=1}^i{a}_{k,j-1}\end{array}$$
  则有 $$a_{i,m}=a_{0,m}+\sum _{k=1}^i{a}_{k,m-1}$$
  其中 $a_{0,m}$ 是另一个数列，即 $$a_{0,m}=\{\begin{array}{ll}0& m=0\\ 233& m=1\\ 10\times a_{0,m-1}+3& m>1\end{array}$$
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{a}_{n,m}\\ a_{n-1,m}\\ ...\\ a_{1,m}\\ a_{0,m}\\ 1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& ...& 1& 10& 3\\ 0& 1& ...& 1& 10& 3\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& 1& 10& 3\\ 0& 0& ...& 0& 10& 3\\ 0& 0& ...& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{n,m-1}\\ a_{n-1,m-1}\\ ...\\ a_{1,m-1}\\ a_{0,m-1}\\ 1\end{array}\right]\\ & ={\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& ...& 1& 10& 3\\ 0& 1& ...& 1& 10& 3\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& 1& 10& 3\\ 0& 0& ...& 0& 10& 3\\ 0& 0& ...& 0& 0& 1\end{array}\right]}^{m-1}\left[\begin{array}{c}{a}_{n,1}\\ a_{n-1,1}\\ ...\\ a_{1,1}\\ a_{0,1}\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
  直接利用输入构造矩阵后求解即可；

HDU 4686 Arc of Dream

• 链接：HDU 4686 Arc of Dream
• 题意：$$Aod(n)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{b}_i$$
• 其中 $$\begin{gathered} a_0=A_0,a_i=a_{i-1}{A}_X+A_Y \\ {b}_0=B_0,b_i=b_{i-1}{B}_X+B_Y \end{gathered}$$
• 给定 $0<=n<=10^{18},0<=A_0,A_X,A_Y,B_0,B_X,B_Y<=2\times 10^9$，求 $Aod(n)\%1000000007$；
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：首先列出递推式 $a_i{b}_i$ 的递推关系如下：
  $$\begin{array}{rl}{a}_i{b}_i& =(a_{i-1}{A}_X+A_Y)(b_{i-1}{B}_X+B_Y)\\ & =A_X{B}_Y{a}_{i-1}{b}_{i-1}+A_X{B}_Y{a}_{i-1}+A_Y{B}_X{b}_{i-1}+A_Y{B}_Y\end{array}$$
• 令 $S(n)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{b}_i$
• 构造矩阵列向量包含 $S(n)、a_n{b}_n、a_n、b_n、1$；

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S(n)\\ a_n{b}_n\\ a_n\\ b_n\\ 1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccccc}1& A_X{B}_X& A_X{B}_Y& A_Y{B}_X& A_Y{B}_Y\\ 0& A_X{B}_X& A_X{B}_Y& A_Y{B}_X& A_Y{B}_Y\\ 0& 0& A_X& 0& A_Y\\ 0& 0& 0& B_X& B_Y\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S(n-1)\\ a_{n-1}{b}_{n-1}\\ a_{n-1}\\ b_{n-1}\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

• 矩阵二分求解即可；
• 注意最后的答案 $Aod(n)=S(n)-a_n{b}_n$

HDU 6470 Count

• 链接：HDU 6470 Count
• 题意：已知公式：$$f(n)=\{\begin{array}{ll}1& (n=1)\\ 2& (n=2)\\ f(n-1)+2f(n-2)+n^3& (n>2)\end{array}$$
• 给出 n，求 $f(n)\%123456789$；
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：这是一个带变量的递推式；将所有和 n 有关的变量都放入列向量中进行矩阵构造，如下：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\\ n^3\\ n^2\\ n\\ 1\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 3& 3& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3& 3& 1\\ 0& 0& 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]}^{n-2}\left[\begin{array}{c}f(2)\\ f(1)\\ 8\\ 4\\ 2\\ 1\end{array}\right]$$

HDU 2793 Sum of Tribonacci Numbers

• 链接：HDU 2793 Sum of Tribonacci Numbers
• 题意：$$T[0]=T[1]=T[2]=1$$ $$T[n]=T[n-1]+T[n-2]+T[n-3](n>=3)$$
• 给定 a 和 b 求 $(T[a]+T[a+1]+...+T[b])\%1,000,000,007$
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：一维递推类问题，构造系数矩阵如下：
  $$\left[\begin{array}{c}T[n]\\ T[n-1]\\ T[n-2]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}T[n-1]\\ T[n-2]\\ T[n-3]\end{array}\right]$$
• 令 $S[n]={\sum }_{i=0}^{n}T[i]$，则 $(T[a]+T[a+1]+...+T[b])=S[b]-S[a-1]$，于是问题转化成求 $S[n]$，将它代入系数矩阵中，得到如下矩阵递推式：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S[n]\\ T[n]\\ T[n-1]\\ T[n-2]\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S[n-1]\\ T[n-1]\\ T[n-2]\\ T[n-3]\end{array}\right]\\ & ={\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}\left[\begin{array}{c}S[2]\\ T[2]\\ T[1]\\ T[0]\end{array}\right]\\ & =A^{n-2}\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
• 对矩阵 A 进行二分求幂，再乘上列向量，得到的列向量的第一个元素就是 $S[n]$。

HDU 3306 Another kind of Fibonacci

• 链接：HDU 3306 Another kind of Fibonacci
• 题意：$$A(0)=1,A(1)=1$$ $$A(n)=X\ast A(n-1)+Y\ast A(n-2)(n>=2)$$ 求 $$S(n)=\sum _{i=0}^{n}A(i{)}^2$$
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：首先利用递推式，可以得出 $A(n{)}^2$ 的递推式如下：
  $$\begin{array}{rl}A(n{)}^2& =(X\ast A(n-1)+Y\ast A(n-2){)}^2\\ & =X^{2}A(n-1{)}^2+2XYA(n-1)A(n-2)+Y^{2}A(n-2{)}^2\end{array}$$
• 所以要求 $S(n)=S(n-1)+A(n{)}^2$， 矩阵列向量至少包含 $S(n)、A(n{)}^2、A(n)A(n-1)、A(n-1{)}^2$ 四项；
• 构造系数矩阵如下：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S(n)\\ A(n{)}^2\\ A(n)A(n-1)\\ A(n-1{)}^2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}1& X^2& 2XY& Y^2\\ 0& X^2& 2XY& Y^2\\ 0& X& Y& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S(n-1)\\ A(n-1{)}^2\\ A(n-1)A(n-2)\\ A(n-2{)}^2\end{array}\right]\\ & ={\left[\begin{array}{cccc}1& X^2& 2XY& Y^2\\ 0& X^2& 2XY& Y^2\\ 0& X& Y& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]}^{n-1}\left[\begin{array}{c}S(1)\\ A(1{)}^2\\ A(1)A(0)\\ A(0{)}^2\end{array}\right]\\ & =A^{n-1}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
• 矩阵二分求解即可；

HDU 2791 Tower

• 链接：HDU 2791 Tower
• 题意：$$f(n)=\{\begin{array}{ll}1& (n=1)\\ C& (n=2)\\ 2C\ast f(n-1)-f(n-2)& (n>2)\end{array}$$
  $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i{)}^2$$
• 给定常数 $C，n，m$，求 $s(n)\%m$ 的值；
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：直接根据 平方 和 前缀和 构造出系数矩阵如下， 二分求解即可；
  $$\left[\begin{array}{c}s(n)\\ f(n{)}^2\\ f(n)f(n-1)\\ f(n-1{)}^2\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccc}1& 4C^2& -4C& 1\\ 0& 4C^2& -4C& 1\\ 0& 2C& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]}^{n-2}\left[\begin{array}{c}1+C^2\\ C^2\\ C\\ 1\end{array}\right]$$

POJ 3233 Matrix Power Series

• 链接：POJ 3233 Matrix Power Series
• 题意：给出一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 和两个正整数 $k,m$, 求 $S(k)=(A+A^2+A^3+\dots +A^k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$。
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：
• 第一步，定义一个列向量如下：
  $$\left[\begin{array}{c}S(k)\\ I\end{array}\right]$$
• 第二步，生成递推矩阵，矩阵元素用 ? 代替：
  $$\left[\begin{array}{c}S(k)\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}?& ?\\ ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S(k-1)\\ I\end{array}\right]$$
• 第三步，根据递推式，构造矩阵如下( $A$ 为原矩阵，$O$ 为零矩阵，$I$ 为单位矩阵)：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}S(k)\\ I\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}A& A\\ O& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}S(k-1)\\ I\end{array}\right]\\ & ={\left[\begin{array}{cc}A& A\\ O& I\end{array}\right]}^{k-1}\left[\begin{array}{c}S(1)\\ I\end{array}\right]\\ & =B^{k-1}\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]\end{array}$$
• 矩阵 $B$ 的阶数为矩阵 $A$ 的两倍，利用矩阵二分求解 $B$ 的 $k-1$ 次幂后再乘上列向量，得到的列向量的上半部分就是所求的 $S(k)$。

POJ 3734 Blocks

• 链接：POJ 3734 Blocks
• 题意：一个长度为 $N(N<=10^9)$ 的串，只由 ‘R’ ‘B’ ‘G’ ‘Y’ 四种字符组成，期望 ‘R’ 和 ‘G’ 的数量为偶数， 求 方案数 $S(N)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10007$。
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：根据 ‘R’ 和 ‘G’ 的奇偶性来建立状态，列出如下表格：

状态编码	状态描述
00	‘R’偶数个，'G’偶数个
01	‘R’偶数个，'G’奇数个
10	‘R’奇数个，'G’偶数个
11	‘R’奇数个，'G’奇数个

• 用 $f(n,i)$ 表示长度为 $n$，状态为 $i$ 的方案数，则有状态转移方程如下：
  $$\begin{gathered} f(n,00)=f(n-1,01)+f(n-1,10)+2\ast f(n-1,00) \\ f(n,01)=f(n-1,11)+f(n-1,00)+2\ast f(n-1,01) \\ f(n,10)=f(n-1,11)+f(n-1,00)+2\ast f(n-1,10) \\ f(n,11)=f(n-1,10)+f(n-1,01)+2\ast f(n-1,11) \end{gathered}$$
• 构造系数矩阵如下：
  $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}f(n,00)\\ f(n,01)\\ f(n,10)\\ f(n,11)\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 2& 0& 1\\ 1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1,00)\\ f(n-1,01)\\ f(n-1,10)\\ f(n-1,11)\end{array}\right]\\ & =A^n\left[\begin{array}{c}f(0,00)\\ f(0,01)\\ f(0,10)\\ f(0,11)\end{array}\right]\\ & =A^n\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$
• 矩阵二分求解；

HDU 2065 "红色病毒"问题

链接：HDU 2065 "红色病毒"问题
题意：现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:

• (1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
• (2) A出现偶数次(也可以不出现);
• (3) C出现偶数次(也可以不出现);
  求长度为 N (N < 2⁶⁴)的字符串方案数 MOD 100；
• 题解：首先按照规则对字符串进行编码，$dp[N][state]$ 代表长度为N，状态为 state 的字符串的方案数，state 是如下枚举：

state	含义
00	A和C都出现偶数次
01	A出现偶数次，C出现奇数次
10	A出现奇数次，C出现偶数次
11	A和C都出现奇数次

• 长度为N 和 N-1 的两个字符串，只相差一个字符，所以不可能同时改变两种字符的奇偶性，那么，容易列出状态转移方程：
  $$\begin{gathered} dp[N][00]=2\ast dp[N-1][00]+dp[N-1][01]+dp[N-1][10]; \\ dp[N][01]=2\ast dp[N-1][01]+dp[N-1][00]+dp[N-1][11]; \\ dp[N][10]=2\ast dp[N-1][10]+dp[N-1][00]+dp[N-1][11]; \\ dp[N][11]=2\ast dp[N-1][11]+dp[N-1][01]+dp[N-1][10]; \end{gathered}$$
• 将状态转移方程转换成矩阵表示，如下：
  $$A=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 2& 0& 1\\ 1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right]$$
• 主对角线全等于2，次对角线全为0，其它均为1；
• $dp[N]$这个列向量可以通过矩阵乘法求解：
  $$dp[N]=A^N\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
• 由于 N 比较大，所以采用矩阵二分取模，最后乘上列向量 dp[0] 得解；
• 注意：这里的 N 要用 unsigned __int64，不然转换成负数逻辑就错了；

HDU 2604 Queue

• 链接：HDU 2604 Queue
• 题意：竟然刷到了自己的题；出题的时候自己都没想到用矩阵；一个由 $f$ 和 $m$ 组成的字符串，任何子串都不能包含 $fmf和fff$，求这样的长度为 $L(L<=10^6)$ 的字符串的种数；
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：将 $m$ 看成是 $0$，$f$ 看成是 $1$，那么可以知道对于长度小于 3 的串，所有串都是合法的；对于长度大于等于3的串，它的末尾总共有六种状态：$001、011、100、101、110、111$，当往后添加一个字符的时候，考虑合法性，得到如下状态转移图：

• 构造状态转移矩阵如下：
  $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$
• 进行矩阵二分求解，最后答案就是所有的合法状态的方案数的和；

HDU 3519 Lucky Coins Sequence

• 链接：HDU 3519 Lucky Coins Sequence
• 题意：长度为 $n(n<=10^9)$ 的 ‘01’ 串，如果存在 $000$ 或者 $111$，则代表合法，求合法串的数量；
• 难度：★★☆☆☆
• 题解：首先 ‘存在’ 这件事情，本身就比较晦涩，有可能存在 $000$、$1111$、$000111000$，种类太多，所以我们可以逆向考虑，求一下不存在的情况，即求所有不存在 $000$ 和 $111$ 的串的数量，然后再用 $2^n$ 减掉这个数量就是答案了；
• 既然要求不存在 $000$ 和 $111$ 的串，那么 $000$ 和 $111$ 就是非法状态，不能进行状态转移，其它长度为 3 的状态都能进行状态转移，有状态转移图如下：

• 构造出系数矩阵如下：
  $$\left[\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
• 观察矩阵第三行，代表的是 010 这个状态可以由 001 和 101 两个状态转移过来；
• 求解矩阵的 $n-2$ 次幂，然后累加对应状态的和，再用 2^n 减去就是答案，注意取模的时候输出不能为负数，所以如果为负数需要再加上 MOD；

HDU 2276 Kiki & Little Kiki 2

链接：HDU 2276 Kiki & Little Kiki 2
题意：一个 01 循环串，长度小于为$L（L<=100）$， 这个串每秒都会进行一次变换，变换规则是：如果左边是1，则改变自己的状态，否则保持不变；给定初始状态，问 n 秒以后这个串的状态；

• 难度：★★☆☆☆
• 题解：首先定义状态 $f(n,L)$ 表示 n 秒以后，第 L 个字符是 0 还是 1；则有如下状态转移方程：
  $$f(n,L)=\{\begin{array}{ll}f(n-1,L)& (f(n-1,L-1)=0)\\ 1-f(n-1,L)& (f(n-1,L-1)=1)\end{array}$$
• 经过简化，我们发现，其实可以表示得更加简单：
  $$f(n,L)=f(n-1,L-1)-f(n-1,L)$$
• 由于 $f(n-1,L)$ 的取值只有0 1，所以根据同余的性质得到：
  $$f(n,L)=f(n-1,L-1)+f(n-1,L)$$
• 根据这个递推式构造矩阵：
  $$\left[\begin{array}{c}f(n,1)\\ f(n,2)\\ ...\\ f(n,L)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& ...& 0& 1\\ 1& 1& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& 1& 0\\ 0& 0& ...& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-1,1)\\ f(n-1,2)\\ ...\\ f(n-1,L)\end{array}\right]$$
• 利用矩阵求二分求解后，乘上右边列向量初值，注意这里可以采用位运算进行加速：
• 1）乘法：位与 & 代替；
• 2）加法：异或 ^ 代替；
• 3）对2取模：位与 & 1 代替；

HDU 3096 Life Game

• 链接：HDU 3096 Life Game
• 题意：
• 边长为 $N(N<=6)$蜂巢格子，初始化的时候每个格子都有一定的病毒，每过1秒，会向相邻的6个格子（边缘的会更少）散布病毒，散布数量为当前病毒的个数，问经过 $L(L<=10^6)$ 秒以后，所有格子病毒的总数；
• 难度：★★☆☆☆
  
• 题解：上图中，左边的编码用于状态转移，右边的编码用于矩阵连乘的时候保持连续性，最大程度上减小矩阵的阶数。
• 我们先来看第一种编码，当前格子的编号记为(r, c)：
• 1）行列数目。行数为2N-1，列数和行号（从0开始数）强相关。令行号r<N，则列数为r+N；否则，列数为(3N-2)-r。
• 2）合法区域。如何判断一个坐标(x, y)是否在合法区域内，先判x，x的范围为[0, 2N-1)；再判y，y的范围为[0, 列数)，列数的计算参照1）。
• 3）6个邻居坐标。
• • a.左右邻居。 (r,c-1)和(r,c+1)。
• • b.上排邻居。 行号r<N时，上排邻居坐标(r-1,c-1)和(r-1,c)；否则，上排邻居坐标(r-1,c)和(r-1,c+1)。
• • c.下排邻居。 行号r<N-1时，下排邻居坐标(r+1,c)和(r-1,c+1)；否则，下排邻居坐标(r+1,c-1)和(r+1,c)。
• • 注：以上邻居坐标都需要通过2）的合法区域坐标检测。
• 4）N = 6时的格子总数为1 + 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 91。
• 然后就可以通过每个格子的合法邻居进行状态转移了。
• 对每个格子进行编号，如果两个格子之间是连通的，则建立一条双向边，然后进行临接矩阵的构造，构造完矩阵就是裸的矩阵二分了，注意最后输出答案的时候要用 int64；

HDU 2842 Chinese Rings

• 链接：HDU 2842 Chinese Rings
• 题意：初始状态为 N 个 1，例如：$$\underset{\mathrm{N}}{\underbrace{11111111111}}$$，现在需要经过一些操作，将这些 1 全部变成 0；操作有如下几种：
• 1）最左边的数可以在一步内自由切换，1 变 0, 0 变 1；
• 2）如果前 $k$ 个数都是 $0$，且第 $k+1$ 个数是 $1$，那么第 $k+2$ 个数可以在 1 步内切换状态；$(0\le k\le 7)$
• 问 当有 $N(N\le 10^9)$ 个1的时候，最少多少步把它全部变成 0；
• 难度：★★★☆☆
• 题解：可以先利用 BFS 搜索出长度为前 8 的情况，发现有规律：$1、2、5、10、21、42、85、170$，得到递推式如下：
  $$f(n)=\{\begin{array}{ll}2f(n-1)& n为偶数\\ 2f(n-1)+1& n为奇数\end{array}$$
• 根据奇偶性，再把公式化简得到：
  $$f(n)=\{\begin{array}{ll}4f(n-2)+2& n为偶数\\ 4f(n-2)+1& n为奇数\end{array}$$
• 针对奇数和偶数的情况，构造两个矩阵如下：
  $$\begin{array}{rl}偶数：\left[\begin{array}{c}f(n)\\ 1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-2)\\ 1\end{array}\right]=A_e^{n/2-1}\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\\ 奇数：\left[\begin{array}{c}f(n)\\ 1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-2)\\ 1\end{array}\right]=A_o^{(n+1)/2-1}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$
• 矩阵二分求解；

POJ 3735 Training little cats

• 链接：POJ 3735 Training little cats
• 题意：$n$ 只小猫咪 $(n<=100)$ ，支持以下三种操作：
• 1）让第 $i$ 只猫咪增加1个坚果；
• 2）让第 $i$ 只猫咪吃掉所有坚果；
• 3）交换第 $i$ 和 第 $j$ 只猫咪的坚果；
• 输入包含 $k(k<=100)$ 次以上的的操作，并且重复 $m$ 次，问最后每只小猫咪有多少个坚果；
• 难度：★★★☆☆
• 题解：首先，将所有的猫咪拥有的坚果数看成是一个行向量，如果有 $n$ 只猫咪，那么就建立一个 $n+1$ 的行向量 (最后一个元素为1，用来做加法操作)；每个操作都是一个矩阵，行向量右乘矩阵后得到操作完以后的坚果情况：
  $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& ...& a_n& 1\end{array}\right]\end{array}$$
• 1）让第 $i$ 只猫咪增加1个坚果，构造一个 $(n+1)\times (n+1)$ 单位矩阵，且 第 $i$ 列最后一个元素置1；
  $$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& ...& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1& ...& 0& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& 0& ...& 1& 0\\ 0& 0& ...& 1& ...& 0& 1\end{array}\right]$$
• 2）让第 $i$ 只猫咪吃掉所有坚果，构造一个 $(n+1)\times (n+1)$ 单位矩阵，且 第 $i$ 列所有元素置0；
  $$\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& ...& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1& ...& 0& ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& 0& ...& 1& 0\\ 0& 0& ...& 0& ...& 0& 1\end{array}\right]$$
• 3）交换第 $i$ 和 第 $j$ 只猫咪的坚果，构造一个 $(n+1)\times (n+1)$ 单位矩阵，交换 第 $i$ 和 第 $j$ 列的元素；
• 然后将这 k 个矩阵相乘，得到一个最终的变换矩阵；
• 注意：这里不能模拟乘法，直接模拟会超时，注意到变换矩阵是个稀疏矩阵，所以其实可以只改变影响对应猫的列即可，k次操作后得到一个变换矩阵，对这个变换矩阵进行二分求幂，最后左乘上一个 $n+1$ 的行向量 就是答案了；