大学数学笔记本

目录
1～4高等数学 1 2 3 4
5～6 数学分析 1 2
7高等代数1
8数学分析3
9～14线性代数1 2 3 4 5 6
15～16高等代数2 3
17高斯定理（专题一）
18数学分析4
19～20高等数学 5 6
21将4K+1型质数表示成平方和（专题二）
22离散数学
23数学物理
24～25 数理逻辑1 2
26数学分析 5
27傅里叶级数收敛定理（专题三）
28~30高等数学 7 8 9
31拉格朗日四平方和定理（专题四）
32数论
33～35高等数学 10、11、11
36~37 、函数，余元公式（专题五）

高等代数(1)
1.P为不可约的多项式，若P是f的k重因式，则p是f’的k-1重因式
2.f没有重因式⇔（f,f’）=1
3.初等对称多项式$P_i={\sum }_{k...k_i}{x}_{k_1}{x}_{k_2}\cdots x_k$
4.∀f可以唯一地表示成Pi的多项式。
5.∀的数域F，Q $\subset$ F，即Q是最小数域
6. A、B为环，则A∩B为环
7.有重因式的多项式未必有重根
8.高斯引理：两个本原多项式的乘积为本原多项式。
高等代数(3)
1.无限维:若V中找到任意多个线性无关的向量。则称V为无限维向量。
如:多项式1，X，X²，X³，…故所有多项式构成无限维向量。
2.过渡距阵：若(β₁，β₂，…βₙ)=(α₁，α₂，…αₙ)T，T为n阶方阵, 则称T为基α到基β的过渡矩阵。
3.过渡矩阵⇔可逆矩阵。
4.若α到β的过渡为A，β到r为B，则α到r为AB。
5.零子空间和V本身叫V的平凡子空间。

线性代数（3）
1.A ³=2 E ， B=A²-2A+E,证明B⁻¹存在，求B⁻¹
解: B=（ A-E）²
（ A-E）（ A²+A+E）=A³-E=2E-E=E
∴（ A-E）²（ A²+A+E）²=（ A-E）E（ A²+A+E）=E，即B（ A²+A+E）²=E
∴B⁻¹=（ A²+A+E）²=3A²+4A+5E

2.！彐A,B，AB-BA=E
解:tᵣ（AB-BA）=tᵣ（AB）-tᵣ（BA）=0
tᵣ（E）=n
∴AB-BA≠E
3.A,B为n阶方阵，AAᵀ=AᵀA=E，BBᵀ=BᵀB=E，|A|+|B|=0,求IA+BI
解:AAᵀ=E，BBᵀ=E
∴|A|=±1,|B|=±1
∴|A|=1,|B|=-1, 或|A|=-1,|B|=1
∴|A+B|=|ABᵀB+AAᵀB|=|A(Bᵀ+Aᵀ)B|=|A||Bᵀ+Aᵀ||B|
∴|A+B|=-|Bᵀ+Aᵀ|=-|(A+B)ᵀ|=-|A+BI
∴|A+BI=0
4.证明若AᵀA=0, 则A=0
解:则AᵀA的迹为${\sum }_i{\sum }_j{a}_{ᵢⱼ}²=0$
∴∀i,j, aᵢⱼ=0
即A=0

高等数学(1)
1.一阶常微分方程求解。
(1) 分离变量, 化为 $g(y)dy=f(x)dx,$ 则 $\int g(y)dy=\int f(x)dx$
(2) 齐次方程 $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{dx}=\phi \left(\frac{y}{x}\right),$ 设 $\mathrm{t}=\frac{y}{x}$ 则化为 (1)
(3) 可化为齐次的方程 $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{y}+\mathrm{c}}{{\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{b}}_1\mathrm{y}+\mathrm{c}}\right)$
$1^{\circ }a{b}_1-a_{1}b\ne 0$ 设 $x=x_1+d_1,y=y_1+d_2$ 化为 $（2)$
$2^{\circ }a{b}_{1-}{a}_{1}b=0$ 设 $t=ax+by$ 化为 $（1)$
(4) 一阶线性微分方程常数变易法 $\frac{\mathrm{d}y}{dx}+\mathrm{P}(\mathrm{x})\mathrm{y}=\mathrm{Q}(\mathrm{x})$
对应齐次 $\frac{\mathrm{d}y}{dx}+\mathrm{P}(\mathrm{x})\mathrm{y}=0,$ 解为 $\mathrm{y}={\mathrm{C}\mathrm{e}}^{-\int \mathrm{P}(\mathrm{X})\mathrm{d}\mathrm{x}}$
设 $\mathrm{y}={\mathrm{u}\mathrm{e}}^{-\int \mathrm{P}(\mathrm{X})\mathrm{d}\mathrm{x}}$ 解出 $\mathrm{u}$
2.二阶微分方程的降阶法
对于y’’=f(x,y’)和y’’=f(y,y’)，设t=y’化为1
3.线性微分方程的解的结构
（1）一阶线性:非齐次通解=非齐次特解+齐次通解
（2）二阶线性:齐次的解空间是二维线性空间，非齐次通解=非齐次特解+齐次通解
4.刘维尔公式
若y₁是y’’+Py’+Qy=0的一个非0特解
则${\mathrm{y}}_2={\mathrm{y}}_1\int \left(\frac{1}{{\mathrm{y}}_1^2}{\mathrm{e}}^{-\int \mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}}\right)dx$是与y₁线性无关的特解
5.二阶线性微分方程的常数变易法 y’’+Py’+Qy=f
（1）设对应齐次的特解为y₁ 则设y=uy₁,化为2
（2）设对应齐次的特解为y₁、y₂ 则设y=u₁y₁+u₂y₂
并设u₁’y₁+u₂’y₂=0 ，则u₁’y₁’+u₂’y₂’= f直接解出

高等数学（3）
第3,4,5章 中值定理 积分
1.费马引理：设f(x)在X₀的邻域U（X₀）内有定义且f’（X₀）存在。
若∀x∈U（X₀），f（X）≤f（X₀）,则f’（X₀）=0 （驻点或稳定点）
2.罗尔定理:
若f（X）在[a,b]上连续,在（a,b）上可导, 且f（a）=f（b）
则彐ε∈（a,b）,f’（ε）=0
3.拉格朗日中值定理:若f（X）在[a,b]上连续,在（a,b）上可导，则彐ε∈（a,b）, $f^{\prime }(\epsilon )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
也叫微分中值定理, 构造函数$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$
4.柯西中值定理：若f（x），F（x）在[a,b]上连续,在（a,b）上可导，且∀x∈(a,b), F’（x）$\ne$ 0, 则

线性代数（6）
1.A，B为n阶距阵，若B=P⁻¹AP，则称A，B相似
2.相似矩阵的性质:①反身性，对称性，传递性
②若|A|~B则|A|=|B|
③P⁻¹(A₁A₂)P=(P⁻¹A₁P）(P⁻¹A2P)
④若A~B则Aᵐ ~ Bᵐ
⑤若A~B, A、B可逆，则A⁻¹ ~ B⁻¹
3.若A~B, 则A、B有相同的特征多项式、特征值。
4.若A与对角阵B相似，则B对角线上的n个数是A的n个特征值
5.可对角化
①若P⁻¹AP为对角阵，即A与对角阵相似，则可称A对角化。
②A可对角化⇔A有n个线性无关的特征向量。
6.复数域上∀A，∃B是上三角矩阵，且A与B相似，且B的主对角线上元素为a的特征值
7.哈密顿-凯莱定理
设f(λ)=|λE-A|是A的特征多项式，则f(A)=O矩阵。
8.若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化。
9.实对称矩阵
①特征值都是实数，特征向量可取实向量。
②对应于不同特征值的特征向量是正相交的。
③一定可对角化。
10.实二次型A，A负定⇔A的负惯指数为n
11.若A可逆，则AᵀA正定。
12.若A正定，则A⁻¹正定，Aᵀ正定， A*正定