The implement of Runge Kutta (RK) Fourth Order using C++

龙格库塔法比欧拉法有更高的精度。

Runge-Kutta Ansatz

$$\begin{gathered} \Delta y(t)=a\ast f(t,y)+b\ast f(t+\alpha h,y+\beta f)(a,b,\alpha ,\beta isfreeparameters) \\ =af+bf+b(f_t\alpha +f_{y}f\beta )h \\ :=hf+\frac{h^2}{2}(f_t+f_{y}f) \end{gathered}$$
其中 $a+b=h$，$\alpha b=\frac{h}{2}$，$\beta b=\frac{h}{2}$。

时间复杂度

$O(h^4)$。

C++ 实现 $4$ 阶 RK

输入参数

类似欧拉法。

$f^{\prime }(x)$ 函数

类似欧拉法，采用外部函数的方式，定义好接口，每个具体问题具体实现。由于 RK 需要计算 $k_1,k_2,k_3,k_4$，因此 RK 的函数原型对应如下。

//x,y 表示对应的坐标
//h 为步长
//k 为返回值，一个4大小的数组
void df(double x, double y, double h, double k[]);

主框架

参考欧拉法实现。

#include <iostream>
using namespace std;

/*f'(x)函数*/
//x,y 表示对应的坐标
//h 为步长
//k 为返回值，一个4大小的数组
void df(double x, double y, double h, double k[]);

int main() {
    
    
	//变量定义
	double x0, y0;//起点坐标
	double xn;//终点坐标
	int step;//迭代次数
	
	cout<<"Enter Initial Condition x0:";
	cin>>x0;
	cout<<"Enter Initial Condition y0:";
	cin>>y0;
	cout<<"Enter calculation point xn:";
	cin>>xn;
	cout<<"Enter number of steps:";
	cin>>step;

	double delta;//x的增量
	delta=(xn-x0)/step;

	/* Runge Kutta Method */
	double yn;
	double k[4];
	cout<<"Step:\tx0\ty0\t\tyn\n";
    cout<<"-----------\n";
	for (int i=1; i<=step; i++) {
    
    
		df(x0, y0, delta, k);
		yn=y0+(k[0]+2*k[1]+2*k[2]+k[3])/6;
		cout<<i<<":\t"<<x0<<"\t"<<y0<<"\t"<<yn<<"\n";
		x0=x0+delta;
		y0=yn;
	}

	//结果输出
	cout<<"\nValue of y at x= "<<xn<<" is " <<yn<<"\n";
	
	return 0;
}

样例

样例 1

给定 $\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-x^2}{y^2+x^2}$，初始条件为 $y(0)=1$，计算 $y(0.6)$ 的值，用 $3$ 步。

$f^{\prime }(x)$ 函数实现

static double df1(double x, double y) {
    
    
	return (y*y-x*x)/(y*y+x*x);
}
//x,y 表示对应的坐标
//h 为步长
//k 为返回值，一个4大小的数组
void df(double x, double y, double h, double k[]) {
    
    
	k[0]=h*df1(x, y);
	k[1]=h*df1(x+h/2, y+k[0]/2);
	k[2]=h*df1(x+h/2, y+k[1]/2);
	k[3]=h*df1(x+h, y+k[2]);
}

编译

测试环境为 Win10+MinGW，使用 g++ 编译器。

g++ -g -o RK.exe main.cpp df1.cpp

计算机输出