阶的估计I 无穷小量与强函数2 Taylor公式 基本初等函数与三角函数的阶

这一讲介绍Taylor公式在阶的估计中的应用，并基于Taylor公式给出一些常用函数的阶的估计。

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定理1.2 Taylor公式
在$x_0$的某个领域内，如果$f(x)$的前$n$阶导存在，且$f^{(n)}(x)=O(1)$，则
$$\begin{gathered} f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+O(|x-x_0{|}^n) \\ =\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o(|x-x_0{|}^{n+1}) \end{gathered}$$

评注 下面是一些常用的估计式，当$x\to 0$时，
$$\begin{gathered} \sin x=x+o(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)=x-\frac{x^3}{3!}+O(x^5) \\ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4) \\ \log (1+x)=x+o(x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3) \\ (1+x{)}^c=1+cx+o(x)=1+cx+O(x^2) \\ {e}^x=1+x+o(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+O(x^3) \end{gathered}$$

更一般地，如果$f(x)=o(1),x\to 0$，则上面的所有$x$都可以换成$f(x)$；另外，$e^x$的估计在$|x|<1$时成立，$\cos (x)$的估计在$|x|<\infty$时成立。

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例1.2 用Taylor公式计算数列极限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n^{1/n}-1)}{\log n}$$

我们先分析$n^{1/n}$，当$n\to \infty$时，$\frac{1}{n}\log n=o(1)$，用Taylor公式，
$$n^{1/n}=e^{\frac{1}{n}\log n}=1+\frac{1}{n}\log n+O\left(\frac{{\log }^{2}n}{n^2}\right)$$

所以
$$\frac{n(n^{1/n}-1)}{\log n}=\frac{\log n+O\left(\frac{{\log }^{2}n}{n}\right)}{\log n}=1+O\left(\frac{\log n}{n}\right)=1+o(1)$$

对无穷小量与强函数的运算法则不熟悉的可以参考上一讲；第一个等号中我们使用了强函数可积的性质（注意函数一定是自身的强函数）
$$nO\left(\frac{{\log }^{2}n}{n^2}\right)=O(n)O\left(\frac{{\log }^{2}n}{n^2}\right)=O\left(\frac{{\log }^{2}n}{n}\right)$$

第二个等号的计算与第一个等号类似；第三个等号用到的是第三个法则，某函数的强函数是无穷小量，则它本身也是无穷小量，因为$\frac{1}{n}\log n=o(1)$，所以$O\left(\frac{\log n}{n}\right)=o(1)$；因此
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n^{1/n}-1)}{\log n}=1$$

例1.3 用Taylor公式得到数列的近似
假设$\alpha =O(1),\beta =O(1)$，则
$$(n+\alpha {)}^{n+\beta }=n^{n+\beta }{e}^{\alpha }\left[1+\frac{\alpha (\beta -\frac{\alpha }{2})}{n}+O(n^{-2})\right]$$

计算$(n+\alpha {)}^{n+\beta }$，
$$\begin{gathered} \log (n+\alpha {)}^{n+\beta }=(n+\beta )\log (n+\alpha ) \\ =(n+\beta )\left[\log n+\log (1+\frac{\alpha }{n})\right] \\ =(n+\beta )\left[\log n+\frac{\alpha }{n}-\frac{{\alpha }^2}{2n^2}+O(\frac{{\alpha }^3}{n^3})\right] \\ =(n+\beta )\log n+\alpha +\alpha (\beta -\frac{\alpha }{2})\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^2}) \end{gathered}$$

所以
$$(n+\alpha {)}^{n+\beta }=n^{n+\beta }{e}^{\alpha }\left[1+\frac{\alpha (\beta -\frac{\alpha }{2})}{n}+O(n^{-2})\right]$$

基于这个结果我们可以得到一个常用极限：
$$(1+\frac{\alpha }{n}{)}^n\to e^{\alpha },n\to \infty$$

上式左右除以$n^{n+\beta }$，
$$(1+\frac{\alpha }{n}{)}^{n+\beta }=e^{\alpha }\left[1+\frac{\alpha (\beta -\frac{\alpha }{2})}{n}+O(n^{-2})\right]$$

取$\beta =0$，则
$$(1+\alpha /n{)}^n=e^{\alpha }\left[1-\frac{{\alpha }^2}{2n}+O(n^{-2})\right]$$

让$n\to \infty$即可。