有限元——ANSYS求解悬臂梁均布载荷问题

1. 摘要

对于矩形悬臂梁均布载荷问题，分别采用不同单元模型进行分析，对比考察分析结果的差异。

2. 问题描述

如图所示矩形截面悬臂梁，左端固定，材料为钢。材料参数为：弹性模量E=2E11Pa，泊松比u=0.28，密度ρ=7800kg/m^3。几何参数如图中所示。梁上作用有均布载荷。
分别采用三维实体单元、平面应力单元及梁单元进行分析；对比考察梁右端的位移和左端的应力分布；讨论理论计算值与有限元计算结果差异。

3. 技术路线

此问题属于结构分析范畴，借助ANSYS Mechanical APDL模块，通过软件界面操作方式实现。单位制：m、kg、s、N、Pa。
分别采用三维实体单元Brick 8 node 185、平面应力单元Quad 4 node 182及梁单元2 node 188进行分析。

4. 分析过程

4.1 三维实体单元分析

(一) 定义工作文件名
依次单击Utility Menu>File>Change Jobname，在出现的对话框中输入：beam，在“New Log and error files”处选中“yes”，单击“OK”。
(二) 定义单元类型

1. 依次单击 MainMenu>Preprocessor>Element type>Add/Edit/Delete，出现对话框，单击“Add”，出现一个 “Library of Element Type”对话框。在“Library of Element Type”左面的列表栏中选择“Solid”，在右面的列表栏中选择“Brick 8 node 185”，单击“OK”。
   

(三) 设置材料属性
依次单击Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models，出现“Define Material Model Behavior”对话框，在“Material Model Available”下面的对话框中，双击打开“Structural>Linear>Elastic>Isotropic”,出现对话框，输入弹性模量EX＝2e11，泊松比PRXY＝0.28，单击“OK”，单击“Material>Exit”。

(四) 建立几何模型

1. 创建长方体
   拾取菜单 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Volumes>Block> By Dimensions。弹出如下图所示的对话框，在“X1,X2” 文本框中输入 0,1.6，在“Y1,Y2”文本框中输入 0,0.05， 在“Z1,Z2” 文本框中输入 0,0.06，单击 OK。
   
   

(五) 划分单元

1. 拾取菜单Main Menu>Mesh>Mesh Tool。弹出对话框，在 Mesh 选项中选择Volums，在 Shape 选项中选择 Hex 和 Mapped，然后点下方的 Mesh，即可划分好。
   

(六) 施加载荷和边界条件

1. MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>On Areas,拾取左端面，然后点击OK。并在弹出的对话框里选择 All DOF，点击 ok。
   
   
2. 选择 MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>pressure>On Areas,拾取上端面，点击 OK。在弹出的对话框中输入200000。
   
   
   

(七) 求解模型
依次点击Main Menu>Solution>Solve>Current LS进行求解，当提示Solution is Done说明求解完成。

(八) 结果查看
依次单击Main Menu>GeneralPostproc>PlotResults>Contour Plot>Nodal Solu，弹出对话框，在“Item to be Contoured”栏中选择“Stress”，在其右面的栏中，选择“von Mises stress”后，单击“OK”，这时在图形窗口处显示出平面的应力云图，如图所示。


依次单击 Main Menu>GeneralPostproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu，弹出对话框，在“Item to be Contoured”栏中选择“DOF Solution”，在其右面的栏中，选择“Displacement vector sum”后，单击“OK”，这时在图形窗口处显示出三维应变图，如图所示。

4.2 平面应力单元分析

(一) 定义工作文件名
依次单击Utility Menu>File>Change Jobname，在出现的对话框中输入：beam，在“New Log and error files”处选中“yes”，单击“OK”。
(二) 定义单元类型

1. 依次单击 MainMenu>Preprocessor>Element type>Add/Edit/Delete，出现对话框，单击“Add”，出现一个 “Library of Element Type”对话框。在“Library of Element Type”左面的列表栏中选择“Solid”，在右面的列表栏中选择“Quad 4 node 182”，单击“OK”。
   

(三) 设置材料属性
依次单击Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models，出现“Define Material Model Behavior”对话框，在“Material Model Available”下面的对话框中，双击打开“Structural>Linear>Elastic>Isotropic”,出现对话框，输入弹性模量EX＝2e11，泊松比PRXY＝0.28，单击“OK”，单击“Material>Exit”。

(四) 建立几何模型

1. 创建长方形
   拾取菜单MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By 2 Corners。弹出如下图所示对话框，Width填入1.6，Height填入0.06。点击OK。
   
   

(五) 划分单元

1. 拾取菜单 Main Menu>Mesh>Mesh Tool。在 Mesh 选项中选择 Lines旁边的 set，分别划分两条长边为 15 份，两条短边为 3 份；然后点击最下方的mesh，选择矩形，点击 OK。
   

(六) 施加载荷和边界条件

1. MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>On Lines,拾取左端线，然后点击OK。并在弹出的对话框里选择 All DOF，点击 ok。
   
   
2. 选择 MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>
   pressure>On Lines,拾取上端线，点击 OK。在弹出的对话框中输入200000。
   
   
   

(七) 求解模型
依次点击Main Menu>Solution>Solve>Current LS进行求解，当提示Solution is Done说明求解完成。

(八) 结果查看
依次单击Main Menu>GeneralPostproc>PlotResults>Contour Plot>Nodal Solu，弹出对话框，在“Item to be Contoured”栏中选择“Stress”，在其右面的栏中，选择“von Mises stress”后，单击“OK”，这时在图形窗口处显示出平面的应力云图，如图所示。


依次单击 Main Menu>GeneralPostproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu，弹出对话框，在“Item to be Contoured”栏中选择“DOF Solution”，在其右面的栏中，选择“Displacement vector sum”后，单击“OK”，这时在图形窗口处显示出三维应变图，如图所示。

4.3 梁单元分析

(一) 定义工作文件名
依次单击Utility Menu>File>Change Jobname，在出现的对话框中输入：beam，在“New Log and error files”处选中“yes”，单击“OK”。
(二) 定义单元类型

1. 依次单击 MainMenu>Preprocessor>Element type>Add/Edit/Delete，出现对话框，单击“Add”，出现一个 “Library of Element Type”对话框。在“Library of Element Type”左面的列表栏中选择“Beam”，在右面的列表栏中选择“2 node 188”，单击“OK”。
   

(三) 设置材料属性
依次单击Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models，出现“Define Material Model Behavior”对话框，在“Material Model Available”下面的对话框中，双击打开“Structural>Linear>Elastic>Isotropic”,出现对话框，输入弹性模量EX＝2e11，泊松比PRXY＝0.28，单击“OK”，单击“Material>Exit”。

(四) 建立几何模型

1. 创建直线
   创建关键点1（0，0，0）和关键点2（1.6，0，0），再创建关键点 10（0，1， 0），这是截面的方向点。然后连接点 1 和 2 形成直线。
   
2. 定义截面属性
   

(五) 划分单元

1. 打开 Mesh tool，在上面的 set 中选 line;选择关键点 10 为截面方向点，选好之后点击中间 line 后的 set，划分成15份，然后点击最底下的 mesh，选择直线，点击 OK。
   
   

(六) 施加载荷和边界条件

1. 对左端点施加全约束载荷。
   
   
2. 选择 MainMenu>Solution>DefineLoads>Apply>Structural>pressure>On Beams，框选整根梁。
   
   由于载荷作用在y轴负方向，因此在弹出窗口的第一个空中输入1，由于需要将题目中的均布在面上的载荷转换为均布在线上的载荷，因此第二个以及第三个空中输入10000(200000*0.05)。
   
   

(七) 求解模型
依次点击Main Menu>Solution>Solve>Current LS进行求解，当提示Solution is Done说明求解完成。

(八) 结果查看
依次单击Main Menu>GeneralPostproc>PlotResults>Contour Plot>Nodal Solu，弹出对话框，在“Item to be Contoured”栏中选择“Stress”，在其右面的栏中，选择“von Mises stress”后，单击“OK”，这时在图形窗口处显示出平面的应力云图，如图所示。


依次单击 Main Menu>GeneralPostproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu，弹出对话框，在“Item to be Contoured”栏中选择“DOF Solution”，在其右面的栏中，选择“Displacement vector sum”后，单击“OK”，这时在图形窗口处显示出三维应变图，如图所示。

5. 结果和讨论

有限元计算结果与理论计算值的对比如下表所示。

由表可以看出，采用三维实体单元与平面应力单元进行分析，得到的结果与理论计算结果相差较大，采用梁单元分析得到的结果与理论计算结果相差较小。产生的误差可能是由于模型误差导致的。
因此可得出结论，采用梁单元进行分析，与理论计算结果的差异更小。
附：理论计算过程