仿射密码的加密与解密

简介

仿射密码为单表加密的一种，字母系统中所有字母都藉一简单数学方程加密，对应至数值，或转回字母。它是一种替换密码，利用加密函数一个字母对一个字母的加密.

密钥空间

字符集中 m 往往是 26

gcd(a,m)=1, 所以 a 取值空间大小为 φ(m)=12,

b∈[0,26)

密钥空间是 26×12=312 故在已知部分明文的情况下才可以攻击!

加密函数

加密函数是 E(x)= (ax + b) (mod m)，其中，a和m互质，m是字符集的大小。
（例如，26即是以26个字母作为编码，当m是26时，a必须是1，3，5，7，9，11，15，17，19，21，23，25其中之一）

解密函数

解密函数为D(x) = a^-1(x - b) (mod m)，其中a-1是a在Zm群的乘法逆元。
很容易通过加密函数来推导：

a⋅x+b ≡ y mod m
a⋅x ≡ (y−b) mod m
x ≡ a^−1 ⋅(y−b) mod m

乘法逆元

群G中任意一个元素a，都在G中有唯一的逆元a`，具有性质aa` = a`a = e，其中e为群的单位元。
例如：7 * 15 = 1 mod 26
15就是7的乘法逆元

例题

假设密钥K= (7,3), 使用仿射密码体制加密单词hot并对得到的密文进行解密。

加密：

加密函数： E(x)= (7x + 3) (mod 26)
根据上面英文字母编码表得到X

解密：

解密函数：
求得a的乘法逆元为15
D(x) = 15(x - 3) (mod 26)

代码（python版）

'''
仿射密码K = (a,b)
加密函数是E(x)= (ax + b) (mod 26)
解密函数为D(x) = (a^-1)(x - b) (mod 26)，其中a^-1是a的乘法逆元
'''


# 加密
def enc(a, b, e):
    c = []
    for i in e:
        temp = ((ord(i) - 97) * a + b) % 26 + 97 # a的ascii码是97
        c.append(chr(temp))
    print(''.join(c).upper())


# 遍历得到a的乘法逆元
def get_multiplicative_inverse(a):
    for i in range(1, 27):
        if a * i % 26 == 1:
            return i


# 解密
def dec(a, b, d):
    a_mul_inv = get_multiplicative_inverse(a)
    p = []
    for i in d:
        temp = (((ord(i) - 97) - b) * a_mul_inv) % 26 + 97
        p.append(chr(temp))
    print(''.join(p).upper())


if __name__ == "__main__":
    a, b = 7, 3
    e = 'hot'
#     d = 'axg'
    enc(a, b, e)
#     dec(a, b, d)