离散赋值环概念 Local Fields by Jean-Pierre Serre, Page 5

原文

  A ring $A$ is called a discrete valuation ring（离散赋值环） if it is a principal ideal domain ${}^1$ (Bourbaki, Alg., Chap. VII) that has a unique non-zero prime ideal ${}^2$ $\mathfrak{m}\left(A\right)$. [Recall that an ideal $\mathfrak{p}$ of a commutative ring $A$ is called prime if the quotient ring $A/\mathfrak{p}$ is an integral domain. ${}^3$]

  The field $A/\mathfrak{m}\left(A\right)$ is called the residue field of $A$. The invertible elements of $A$ are those elements that do not belong to $\mathfrak{m}\left(A\right)$ ${}^4$; they form a multiplicative group and are often called the units of $A$ (or the field of fractions of $A$).

   In a principal ideal domain, the non-zero prime ideals are the ideals of the form $\pi A$, where $\pi$ is an irreducible element ${}^5$. The definition above comes down to saying that $A$ has one and only one irreducible element, up to multiplication by an invertible element ${}^6$; such an element is called a uniformizing element of $A$ ${}^7$ (or uniformizer; Weil [123] calls it a “prime element”).

  The non-zero ideals of $A$ are of the form $\mathfrak{m}\left(A\right)={\pi }^{n}A$ ${}^{10}$, where $\pi$ is a uniformizing element. If $x\ne 0$ is any element of $A$, one can write $x={\pi }^{n}u$, with $n\in \mathbb{N}$ and $u$ invertible ${}^8$; the integer $n$ is called the valuation (or the order) of $x$ and is denoted $\nu \left(x\right)$; it does not depend on the choice of $\pi$. ${}^9$

注释与说明

1. principal ideal domain

principal ideal – 主理想
domain – 整环

主理想定义
  $\left(R,+,\times \right)$是一个环，设$a\in R$，考察$R$中含有元素$a$的全部理想的集合
Σ = { I ⊆ R  is the ideal ∣ a ∈ I } , \Sigma =\left\{ \left. I\subseteq R\text{ is the ideal} \right|a\in I \right\}, Σ={ I⊆R is the ideal∣a∈I},
令$\left[a\right]=\bigcap _{I\in \Sigma }I$ ，则由定理“理想的交还是理想”可知，$\left[a\right]$也是$R$的一个理想，称为$R$的由$a$生成的主理想。
当$R$是一个含幺交换环时，由$a$生成的主理想 ⟨ a ⟩ = R a = { r a ∣ r ∈ R } \left\langle a \right\rangle =Ra=\left\{ \left. ra \right|r\in R \right\} ⟨a⟩=Ra={ ra∣r∈R}

整环定义
  若环 R ≠ { 0 } R\ne \left\{ 0 \right\} R​={ 0}，且$$\forall a,b\in R,a,b\ne 0\Rightarrow ab\ne 0$$ 或者
$$ab=0\Rightarrow a=0\text{or }b=0$$
则称$R$是整环(Integral Ring)。

主理想（整）环定义
  若一个（整）环$R$的每个理想$I$都是某$a\in R$生成的主理想，则称$R$为主理想（整）环。

  根据下文中的涉及讨论环$A$的可逆元素和不可逆元素，以及原文中

The non-zero ideals of $A$ are of the form $\mathfrak{m}\left(A\right)={\pi }^{n}A$

我们认为这一章节所讨论的离散赋值环$A$是一个含幺交换环。

2. prime ideal

prime ideal – 素理想

素理想定义
  $R$是一个交换环，$P\subset R$是$R$的真理想，称$P$为素理想，若
$$ab\in P\Rightarrow a\in P\text{ or }b\in P,\forall a,b\in R$$

3. Recall that an ideal $\mathfrak{p}$ of a commutative ring $A$ is called prime if the quotient ring $A/\mathfrak{p}$ is an integral domain.

  $P$是素理想，当且仅当$R/P$是整环。
证明

1. $\Rightarrow$
   令$a,b\in R$且在$R/P$中有$\overline{ab}=\overline{0}$$\Rightarrow ab\in P$$\Rightarrow a\in P$或$b\in P$
   $\Rightarrow$在$R/P$中，有$\overline{a}=\overline{0}$或$\overline{b}=\overline{0}$。
2. $\Leftarrow$
   假设$ab\in P\Rightarrow$在$R/P$中$\overline{ab}=\overline{0}$ $\Rightarrow$ 在$R/P$中$\overline{a}=\overline{0}$或$\overline{b}=\overline{0}$ $\Rightarrow a\in P$或$b\in P$。
   
   

4. The invertible elements of $A$ are those elements that do not belong to $\mathfrak{m}\left(A\right)$

  意思是主理想整环$A$中可逆的元素是不属于$\mathfrak{m}\left(A\right)$的那些元素。更系统地讲，$A$中所有的可逆元素$a\notin \mathfrak{m}\left(A\right)$，$A$中所有的不可逆元素$b\in \mathfrak{m}\left(A\right)$。

$A$中所有的可逆元素$a\notin \mathfrak{m}\left(A\right)$
证明
首先，$A$是一个含幺交换环，$1\in A$且$1$为可逆元素，因此$A$中的可逆元素集非空。
理想$\mathfrak{m}\left(A\right)$是$A$的子环，因此非空。$\forall a\in \mathfrak{m}\left(A\right)$，若$\exists a^{-1}\in A$使得$a{a}^{-1}=1$，则有推理
$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}& \mathfrak{m}\left(A\right)\times A\subseteq \mathfrak{m}\left(A\right)\\ & a\in \mathfrak{m}\left(A\right),a^{-1}\in A,a{a}^{-1}=1\end{array}\}\Rightarrow 1\in \mathfrak{m}\left(A\right)\\ & \\ & \begin{array}{rl}& 1\in \mathfrak{m}\left(A\right)\\ & 1\times A=A\\ & \mathfrak{m}\left(A\right)\times A\subseteq \mathfrak{m}\left(A\right)\end{array}\}\Rightarrow A\subseteq \mathfrak{m}\left(A\right)\end{array}$$
又子环$\mathfrak{m}\left(A\right)\subseteq A$，因此有$\mathfrak{m}\left(A\right)=A$，但这与$\mathfrak{m}\left(A\right)$是$A$的素理想（也是真理想，$\mathfrak{m}\left(A\right)\subset A$）矛盾。因此$\forall a\in \mathfrak{m}\left(A\right)$，$a$不可逆，即所有可逆元素都不属于$\mathfrak{m}\left(A\right)$。

$A$中所有的不可逆元素$b\in \mathfrak{m}\left(A\right)$

引理1 (Krull定理)：含幺环必有极大理想。
引理2 (Zorn引理)（等价于选择公理）：若一个偏序集的任何一个全序子集都有上界，则这个偏序集中存在极大元。

注释4的证明法一
环$A$是含幺环，因此由Krull定理，环$A$必有极大理想$P$。

环$A$是含幺交换环，因此$A/P$是一个域，$A/P$是一个整环，$P$是一个素理想。

又环$A$只有唯一一个素理想$\mathfrak{m}\left(A\right)$，因此$P=\mathfrak{m}\left(A\right)$是唯一一个极大理想。

注意到含幺交换环$A$是一个主理想环，其理想都是主理想，具有形式$\pi A,\pi \in A$是生成主理想的元素。因此$\exists b\in A$使得$\mathfrak{m}\left(A\right)=bA$。

基于此，假设存在不可逆元$b_1\notin \mathfrak{m}\left(A\right)$，考虑由$b_1$生成的主理想$⟨b_1⟩=b_{1}A\cancel{\subseteq }\mathfrak{m}\left(A\right)$，$b_{1}A\subset A$（因为$b_1$是不可逆元素，$b_{1}A$里的元素均为不可逆元素，而$A$至少有一个可逆元素1）。由于$\mathfrak{m}\left(A\right)$是$A$的唯一极大理想，因此真理想$b_{1}A$不是极大理想，因此存在另一个真理想$I=b_{2}A\supset b_{1}A$。

$b_2$仍然是一个不可逆元且$b_2\notin \mathfrak{m}\left(A\right)$。事实上，若$b_2$是可逆元，则由于${b_2}^{-1}\in A$，由$IA\subseteq I$有$1\in I$，于是容易推得$I=A$，此时$I$非真理想。若$b_2\in \mathfrak{m}\left(A\right)$，则$\exists c\in A$使得$b_2=bc$，因此有
$$b_{1}A\subset b_{2}A=\left(bc\right)A=b\left(cA\right)\subseteq bA$$
与前面的$b_{1}A\cancel{\subseteq }\mathfrak{m}\left(A\right)$矛盾。

类似地，存在不可逆元$b_3,b_4,\cdots \notin \mathfrak{m}\left(A\right)$导出以下各真理想的真包含关系
$$b_{1}A\subset b_{2}A\subset b_{3}A\subset b_{4}A\subset \cdots$$

记以上的理想的集合为 B A = { b 1 A ,   b 2 A , ⋯   } { {B}_{A}}=\left\{ { {b}_{1}}A,\text{ }{ {b}_{2}}A,\cdots \right\} BA​={ b1​A, b2​A,⋯}，定义$B_A$上的偏序关系$\prec$为包含关系$\subseteq$（不能为真包含$\subset$，因为不满足自反性），则$⟨B_A,\prec ⟩$构成一个偏序集。

任取该偏序集的一个全序子集$⟨{B_A}^{\prime }\left(\subseteq B_A\right),\prec ⟩$，$\forall b_{i}A\in {B_A}^{\prime }$，$b_{i}A\subset A$（当然也就有$b_{i}A\subseteq A$，即$b_{i}A\prec A$），即任何一个全序子集都有上界，因此该偏序集中存在极大元$b_{m}A\in B_A$。

此时也揭示了$B_A$是一个有限集，真包含关系链的长度是有限的：
$$b_{1}A\subset b_{2}A\subset \cdots \subset b_{m}A$$
且此时 ∀ b ′ ∈ A \ { b m } \forall b'\in A\backslash \left\{ { {b}_{m}} \right\} ∀b′∈A\{ bm​}，不论$b^{\prime }$是否可逆，是否属于$\mathfrak{m}\left(A\right)$，都不满足
$$b_{m}A\subset b^{\prime }A\subset A$$
即不存在其他真理想真包含$b_{m}A$，因此该极大元$b_{m}A$也是$A$的一个极大理想且显然地有
$$b_m\notin \mathfrak{m}\left(A\right),b_{m}A\ne bA=\mathfrak{m}\left(A\right)$$
即找出了另一个不同的极大理想，矛盾。因此任何的不可逆元$b_1\in \mathfrak{m}\left(A\right)$。

引理3：$A$是一个含幺交换环，则任取$A$中的一个不可逆元$a$，总是存在一个极大理想$M$使得$a\in M$。
证明
令$X$为$A$中所有包含$a$的真理想的集合。由于$A$是含幺交换环，$a$是不可逆元，有$⟨a⟩=aA\subset A$（$aA$里均为不可逆元素，$A$至少有可逆元1），因此$X\ne \varnothing$，且$⟨X,\subseteq ⟩$为偏序集，由Zorn引理有$X$中存在极大元$M\in X$。

接下来证明极大元$M$就是极大理想。事实上，若存在真理想$J\supset M$，由$a\in M$有$a\in J$，因此有$J\in X$，此时$M$肯定不是$X$的极大元，矛盾。因此极大元$M$就是极大理想，且有$a\in M$。

注释4的证明法二
环$A$是含幺环，因此由Krull定理，环$A$必有极大理想$P$。

环$A$是含幺交换环，因此$A/P$是一个域，$A/P$是一个整环，$P$是一个素理想。

又环$A$只有唯一一个素理想$\mathfrak{m}\left(A\right)$，因此$P=\mathfrak{m}\left(A\right)$是唯一一个极大理想。

任取$A$中的不可逆元$b$，由引理3，总是存在一个极大理想$M$使得$a\in M$。因此只能是$b\in \mathfrak{m}\left(A\right)$。证毕。

5. where $\pi$ is an irreducible element

$\pi$是一个不可约元素的说明
首先含幺交换环$A$是一个主理想环，所有的理想都具有形式$\pi A$，$\pi \in A$。
对于环$A$的任一个素理想$P$，当然也存在一个$\pi \in A$使得$P=\pi A$。

$\pi$一定不是一个可逆元。事实上，若$\pi$是可逆元，则由于${\pi }^{-1}\in A$和$PA\subseteq P$有$1\in P$，从而有$P=A$，此时$P$不是一个真理想，也就不是一个素理想了。因此$\pi$是一个不可逆元。

不可逆元$\pi$一定是一个不可约元素。否则，存在两个不可逆元${\pi }_1,{\pi }_2$使得$\pi ={\pi }_1{\pi }_2$。
由于${\pi }_{1}A,{\pi }_{2}A$里均为不可逆元，$A$中至少有一可逆元1，因此有${\pi }_{1}A,{\pi }_{2}A\subset A$，即$\exists b_1,b_2\in A$，但$b_1\notin {\pi }_{1}A,b_2\notin {\pi }_{2}A$。
又由于$A$是整环，$\forall a\ne 0,\cancel{\exists }{b}_1\ne b_2,a{b}_1=a{b}_2$，因此有以下的真包含关系
$$P=\pi A={\pi }_1{\pi }_{2}A=\{\begin{array}{rl}& {\pi }_1\left({\pi }_{2}A\right)\subset {\pi }_{1}A\\ & {\pi }_2\left({\pi }_1\right)A\subset {\pi }_{2}A\end{array}$$
即$\exists a_1,a_2\in A,\text{ s}\text{.t}\text{.}$ ${\pi }_1{a}_1,{\pi }_2{a}_2\notin \pi A$。
但此时${\pi }_1{a}_1\times {\pi }_2{a}_2=\left({\pi }_1{\pi }_2\right)\left(a_1{a}_2\right)=\pi \left(a_1{a}_2\right)\in \pi A$，不符合素理想的定义，因此$\pi$不能分解为两个不可逆因子的乘积，即$\pi$是一个不可约元素。

6. $A$ has one and only one irreducible element, up to multiplication by an invertible element

意思就是在相伴意义下，将$A$的唯一素理想$P$表示成$P=\pi A$，其中$\pi$是一个不可约元素，这样的写法是唯一的。即
①任取一个可逆元$a\in A$，有
$$P=\pi A=\left(\pi a\right)A$$
②任取一个不可约元素${\pi }^{\prime }\in A$，一定有${\pi }^{\prime }$与$\pi$相伴，且有${\pi }^{\prime }A=\pi A$。
③我们指出$\pi a$也是一个不可约元素。

①首先，$a$是一个可逆元，容易推得$aA=A$，因此有
$$\left(\pi a\right)A=\pi \left(aA\right)=\pi A=P$$

②其次，${\pi }^{\prime }$是一个不可约元素，也是一个不可逆元素，而$A$中所有的不可逆元素都属于$P=\pi A$，当然也有${\pi }^{\prime }\in \pi A$，因此存在$a\in A$使得${\pi }^{\prime }=\pi a$。
由于${\pi }^{\prime }$是不可约元素，$\pi$是不可约元素当然也是不可逆元素，因此$a$只能是可逆元，因此${\pi }^{\prime }$与$\pi$相伴，且有
$$aA=A\Rightarrow {\pi }^{\prime }A=\left(\pi a\right)A=\pi \left(aA\right)=\pi A=P$$

③最后，若$\pi a$不是一个不可约元素，则存在两个不可逆因子${\pi }_1,{\pi }_2\in A$使得
$$\pi a={\pi }_1{\pi }_2\Rightarrow \pi ={\pi }_1\left({\pi }_2{a}^{-1}\right)$$
由于$a^{-1}$可逆但${\pi }_2$不可逆，因此${\pi }_2{a}^{-1}$不可逆，此时$\pi$可以分解为两个不可逆因子的乘积，蕴含$\pi$不是不可约元素，矛盾。因此$\pi a$也是一个不可约元素。

7. such an element is called a uniformizing element of $A$

$\pi$和$\pi a$（$\forall a$是$A$中的可逆元）均被称为均匀化元素。

8. If $x\ne 0$ is any element of $A$, one can write $x={\pi }^{n}u$, with $n\in \mathbb{N}$ and $u$ invertible

Part1:存在性证明
首先，均匀化元素$\pi$是一个不可约元素，不为0（由不可约元素定义）。$u$是一个可逆元素，也不为0 （0是不可逆元素）。由于$A$是整环，因此有推理
$${\pi }^n\ne 0,u\ne 0\Rightarrow {\pi }^{n}u\ne 0$$
因此排除讨论$x=0$的情况。

①当$x\in A$是可逆元素时，令$n=0,u=x$，即有$x={\pi }^{n}u={\pi }^{0}u=u$。

②当$x\in A$是不可逆元素中的不可约元素时，一定存在可逆元素$u$使得$x=\pi u$。此时$n=1$。
记离散赋值环$A$的唯一素理想为$\mathfrak{m}\left(A\right)=\pi A$。事实上，$x\in A$是不可约元素，是不可逆元素，因此有$x\in \mathfrak{m}\left(A\right)=\pi A$，即$\exists u\in A$使得$x=\pi u$。
且由于$x$是不可约元素，$\pi$是不可逆元素，因此$u$只能是可逆元素。结论得证。

③当$x\in A$是不可逆元素中的可约元素时，一定存在$1<n<\infty$和一个可逆元素$u$使得$x={\pi }^{n}u$。
事实上，$x$是可约元素，因此存在不可逆元素${\pi }_1,{\pi }_2$使得$x={\pi }_1{\pi }_2$。
不可逆元素${\pi }_1,{\pi }_2\in \pi A$，因此存在$a_1,a_2\in A$使得${\pi }_1=\pi a_1,{\pi }_2=\pi a_2$。
因此有$x=\left(\pi a_1\right)\left(\pi a_2\right)=\pi \left(\pi a_1{a}_2\right)=\pi a$，其中$a=\pi a_1{a}_2$是一个不可逆元。

$a$是不可逆元，则有$a\in \pi A$，于是$\exists a_1\in A$使得$a=\pi a_1$。此时就有$x=\pi a=\pi \left(\pi a_1\right)={\pi }^2{a}_1$。若$a_1$仍为不可逆元，则可以继续构造出$x={\pi }^3{a}_2$。将这个构造过程中出现的$x,a_1,a_2,\cdots$归为一个集合 S = { x , a 1 , a 2 , ⋯   } S=\left\{ x,{ {a}_{1}},{ {a}_{2}},\cdots \right\} S={ x,a1​,a2​,⋯}，定义偏序关系$p\prec q$为$p$被$q$整除（$q$是$p$的因子）。则$⟨S,\prec ⟩$是一个偏序集。
其任何一个子集为全序子集且都有上界$1$（$1$是$A$中所有元素的因子），由Zorn引理，偏序集$⟨S,\prec ⟩$存在极大元$u=a_n$。
且这个$u$是一个可逆元素。事实上，若$u$不可逆，则$u\in \pi A$，$\exists d\in A$，$u=\pi d$，有$u\prec d$，与$u$是极大元矛盾。
此时即有$x={\pi }^{n}u$，$n>1$。

Part2: 唯一性证明
此外，我们指出，对某个确定的$\pi$，$\forall x\ne 0$，满足$x={\pi }^{n}u$的 $\left(n,u\right)$对是唯一的。

事实上，若$x$是可逆元，则一定有$n=0$，否则${\pi }^n\ne 1$是一个不可逆元，$x={\pi }^{n}u$也是个不可逆元。基于此，$u$显然也是唯一的。因此$\left(n,u\right)$对是唯一的。

若$x$是不可逆元，假设存在不可逆元$u_1,u_2$与两个正整数$n_1,n_2\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$，满足
$$x={\pi }^{n_1}{u}_1={\pi }^{n_2}{u}_2$$
若$n_1=n_2$，则由环$A$是整环推出$u_1=u_2$。
若$n_1\ne n_2$，不妨令$n_1>n_2$，则有$d=n_1-n_2>0$，此时有
$${\pi }^{n_2+d}{u}_1={\pi }^{n_2}{u}_2\left(环A是整环\right)\Rightarrow {\pi }^d{u}_1=u_2$$
由于${\pi }^d\ne 1$是不可逆元，所以$u_2$是不可逆元，矛盾。
因此$x$是不可逆元的情况也有$\left(n,u\right)$对是唯一的。

9. it does not depend on the choice of $\pi$

设离散赋值环$A$的唯一素理想为$\mathfrak{m}\left(A\right)=\pi A$。

$\forall x\ne 0$，若$x$是可逆元，则$x={\pi }^{0}x$，显然结论成立。

若$x$是不可逆元，则$\exists n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$和可逆元$u\in A$使得$x={\pi }^{n}u$。
任取$A$中的一个不可约元素${\pi }^{\prime }$，它也是一个不可逆元素，因此有${\pi }^{\prime }\in \pi A$，即$\exists a\in A$，使得${\pi }^{\prime }=\pi a$。
由于${\pi }^{\prime }$是不可约元素，$\pi$是不可逆元素，因此一定有$a$是可逆元素。此时有
$$\pi ={\pi }^{\prime }{a}^{-1}\Rightarrow x={\pi }^{n}u={\left({\pi }^{\prime }{a}^{-1}\right)}^{n}u={\left({\pi }^{\prime }\right)}^n\left[{\left(a^{-1}\right)}^{n}u\right]$$
其中${\left(a^{-1}\right)}^{n}u$是可逆元素（其逆元为$u^{-1}{a}^n$）。结论成立。

10. The non-zero ideals of $A$ are of the form $\mathfrak{m}\left(A\right)={\pi }^{n}A$

由于含幺交换环$A$是主理想环，每个非零理想都是由一个元素$b\ne 0$生成的主理想$bA$。而根据注释8，离散赋值环$A$中的每一个非零元$b$都可以写成$b={\pi }^{n}u$，其中$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$，$u$是一个可逆元。因此对$A$中每一个非零理想$bA$有
b A = ( π n u ) A = π n ( u A ) = π n A ≠ { 0 } ,   n ∈ Z ≥ 0 ,   ∀ b ≠ 0 bA=\left( { {\pi }^{n}}u \right)A={ {\pi }^{n}}\left( uA \right)={ {\pi }^{n}}A\ne \left\{ 0 \right\},\text{ }n\in { {\mathbb{Z}}_{\ge 0}},\text{ }\forall b\ne 0 bA=(πnu)A=πn(uA)=πnA​={ 0}, n∈Z≥0​, ∀b​=0
且类似于注释9的说明过程，对一个确定的$b\ne 0$，$n$不随不可约元素$\pi$选取的变化而变化。