Legendre符号计算例题（一）

前言

  以下计算用到的性质或方法全部来源于博文

1. 《Legendre符号的定义和基本性质》
2. 《Legendre符号的相关引理和部分计算性质的证明》中的引理 (Gauss)
   
   

计算$\left(\frac{5}{23}\right)$

解
$$\begin{array}{rl}& \left(\frac{5}{23}\right)\equiv 5^{\frac{23-1}{2}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23\\ & =5^{11}\\ & =5\times {25}^5\\ & \equiv 5\times 2^5\\ & \equiv 5\times 9\\ & =45\\ & \equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23\end{array}$$
又 ( 5 23 ) ∈ { 0 , ± 1 } \left( \frac{5}{23} \right)\in \left\{ 0,\pm 1 \right\} (235​)∈{ 0,±1}，故$\left(\frac{5}{23}\right)=-1$。

计算$\left(\frac{13}{17}\right)$

1. 解法一
   $$\begin{array}{rl}& \left(\frac{13}{17}\right)\equiv {13}^{\frac{17-1}{2}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17\\ & ={13}^8\\ & \equiv {\left(-4\right)}^8\\ & ={16}^4\\ & \equiv {\left(-1\right)}^4\\ & =1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}17\end{array}$$
   又 ( 13 17 ) ∈ { 0 , ± 1 } \left( \frac{13}{17} \right)\in \left\{ 0,\pm 1 \right\} (1713​)∈{ 0,±1}，故$\left(\frac{13}{17}\right)=1$。

2. 解法二
   一方面，
   $$\left(\frac{-13}{17}\right)=\left(\frac{4}{17}\right)=\left(\frac{2^2}{17}\right)={\left(\frac{2}{17}\right)}^2=1\left(17\cancel{|}2\right)$$
   另一方面，由于$17\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$，有
   $$\left(\frac{-1}{17}\right)=1$$
   因此有
   $$\left(\frac{-13}{17}\right)=\left(\frac{-1}{17}\right)\left(\frac{13}{17}\right)\Rightarrow \left(\frac{13}{17}\right)=\frac{\left(\frac{-13}{17}\right)}{\left(\frac{-1}{17}\right)}=1$$
   
   

计算$\left(\frac{11}{19}\right)$

1. 解法一
   $$\begin{array}{rl}& \left(\frac{11}{19}\right)\equiv {11}^{\frac{19-1}{2}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}19\\ & ={11}^9\\ & \equiv {\left(-8\right)}^9\\ & =\left(-8\right)\times {64}^4\\ & \equiv \left(-8\right)\times 7^4\\ & =\left(-8\right)\times {49}^2\\ & \equiv \left(-8\right)\times {\left(-8\right)}^2\\ & =\left(-8\right)\times 64\\ & \equiv \left(-8\right)\times 7\\ & =-56\\ & \equiv 1\end{array}$$
   又 ( 11 19 ) ∈ { 0 , ± 1 } \left( \frac{11}{19} \right)\in \left\{ 0,\pm 1 \right\} (1911​)∈{ 0,±1}，故$\left(\frac{11}{19}\right)=1$。

2. 解法二
     $19$是奇素数，$\gcd \left(11,19\right)=1$。$\frac{19-1}{2}=9,\frac{19}{2}=9.5$。有下表：
   $$\begin{array}{cccccccccc}x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}19& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 11x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}19& \underline{11}& 22\equiv 3& 33\equiv \underline{14}& 44\equiv 6& 55\equiv \underline{17}& 66\equiv 9& 77\equiv 1& 88\equiv \underline{12}& 99\equiv 4\end{array}$$
   上表中第二行共4个数$>9.5$，故$\left(\frac{11}{19}\right)={\left(-1\right)}^4=1$。
   
   

计算$\left(\frac{10}{29}\right)$

解
  $29$是奇素数，$\gcd \left(10,29\right)=1$。$\frac{29-1}{2}=14,\frac{29}{2}=14.5$。
$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{cccccccc}x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}29& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 10x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}29& 10& \underline{20}& 30\equiv 1& 40\equiv 11& 50\equiv \underline{21}& 60\equiv 2& 70\equiv 12\end{array}\\ & \\ & \begin{array}{cccccccc}x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}29& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14\\ 10x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}29& 80\equiv \underline{22}& 90\equiv 3& 100\equiv 13& 110\equiv \underline{23}& 120\equiv 4& 130\equiv 14& 140\equiv \underline{24}\end{array}\end{array}$$
上表中第二行共5个数$>14.5$，故$\left(\frac{10}{29}\right)={\left(-1\right)}^5=1$。

计算$\left(\frac{2}{11}\right)$

1. 解法一
   $$\begin{array}{rl}& \left(\frac{2}{11}\right)\equiv 2^{\frac{11-1}{2}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11\\ & =2^5\\ & =32\\ & \equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11\end{array}$$
   又 ( 2 11 ) ∈ { 0 , ± 1 } \left( \frac{2}{11} \right)\in \left\{ 0,\pm 1 \right\} (112​)∈{ 0,±1}，故$\left(\frac{2}{11}\right)=-1$.

2. 解法二
   $11$是奇素数，$\gcd \left(2,11\right)=1$。$\frac{11-1}{2}=5,\frac{11}{2}=5.5$。有下表
   $$\begin{array}{cccccc}x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11& 1& 2& 3& 4& 5\\ 2x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11& 2& 4& \underline{6}& \underline{8}& \underline{10}\end{array}$$
   上表中第二行共有3个数$>5.5$，因此$\left(\frac{2}{11}\right)={\left(-1\right)}^3=-1$。

3. 解法三
   因为$11\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$，因此直接有$\left(\frac{2}{11}\right)=-1$。
   
   

计算$\left(\frac{2}{31}\right)$

1. 解法一
   $$\begin{array}{rl}& \left(\frac{2}{31}\right)\equiv 2^{\frac{31-1}{2}}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}31\\ & =2^{15}\\ & ={\left(2^5\right)}^3\\ & ={32}^3\\ & \equiv 1^3\\ & =1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}31\end{array}$$
   又 ( 2 31 ) ∈ { 0 , ± 1 } \left( \frac{2}{31} \right)\in \left\{ 0,\pm 1 \right\} (312​)∈{ 0,±1}，于是有$\left(\frac{2}{31}\right)=1$。

2. 解法二
   $31$是奇素数，$\gcd \left(2,31\right)=1$。$\frac{31-1}{2}=15,\frac{31}{2}=15.5$。有下表
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{ccccccccc}x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}31& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 2x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}31& 2& 4& 6& 8& 10& 12& 14& \underline{16}\end{array}\\ & \\ & \begin{array}{cccccccc}x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}31& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15\\ 2x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}31& \underline{18}& \underline{20}& \underline{22}& \underline{24}& \underline{26}& \underline{28}& \underline{30}\end{array}\end{array}$$
   上表中第二行共8个数$>15.5$，故$\left(\frac{2}{31}\right)={\left(-1\right)}^8=1$。

3. 解法三
   因为$31\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$，因此直接有$\left(\frac{2}{31}\right)=1$。
   
   

计算$\left(\frac{3}{7}\right)$

解
  $7$是奇素数，$3$是奇数，$\gcd \left(3,7\right)=1$，$\frac{7-1}{2}=3$，因此有
$$\left(\frac{3}{7}\right)={\left(-1\right)}^{\sum _{k=1}^3\left[\frac{3k}{7}\right]}={\left(-1\right)}^{\left[\frac{3}{7}\right]+\left[\frac{6}{7}\right]+\left[\frac{9}{7}\right]}={\left(-1\right)}^{0+0+1}=-1$$

求出以$-2$为平方剩余的素数的一般表达式；以$-2$为平方非剩余时的素数的一般表达式。

解
  考虑一个素数$p$和同余方程$x^2\equiv -2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$。

1. 若$p=\pm 2$，则同余方程等价于
   $$x^2\equiv -2\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pm 2$$
   有唯一解$x\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pm 2$，此时$-2$是模$p$的平方剩余。

2. 若$p\ne \pm 2$，则$p$是奇素数。

   1. 当$p$是奇素数时，$-2$是模$p$的平方剩余等价于$\left(\frac{-2}{p}\right)=1$。由于
      $$\begin{array}{rl}& \left(\frac{-2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)\\ & \left(\frac{-1}{p}\right)=\{\begin{array}{rl}& 1,p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & -1,p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\end{array}\\ & \left(\frac{2}{p}\right)=\{\begin{array}{rl}& 1,p\equiv \pm 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & -1,p\equiv \pm 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}\end{array}$$
      因此有
      $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}\text{① 或 }\{\begin{array}{rl}& p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}\text{② }\\ 或& \{\begin{array}{rl}& p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & p\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}\text{③ 或}\{\begin{array}{rl}& p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & p\equiv -3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}④\end{array}$$
      而
      $$\gcd \left(4,8\right)=4,4|1-1,4|3-\left(-1\right),\text{ 4}\cancel{|}\left(-1-1\right),\text{ 4}\cancel{|}-3-\left(-1\right)$$
      因此①，③有解；②，④无解。且由于$4=2^2,8=2^3$，由首一一次同余式组模数不满足两两互素时的解法，有
      $$\begin{array}{rl}& ①\iff p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & ③\iff p\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}$$

   2. 当$p$是奇素数时，$-2$是模$p$的平方非剩余等价于$\left(\frac{-2}{p}\right)=-1$。由于
      $$\begin{array}{rl}& \left(\frac{-2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)\\ & \left(\frac{-1}{p}\right)=\{\begin{array}{rl}& 1,p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & -1,p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\end{array}\\ & \left(\frac{2}{p}\right)=\{\begin{array}{rl}& 1,p\equiv \pm 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & -1,p\equiv \pm 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}\end{array}$$
      因此有
      $$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & p\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}\text{① 或}\{\begin{array}{rl}& p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & p\equiv -3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}\text{②}\\ & 或\{\begin{array}{rl}& p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}\text{③ 或}\{\begin{array}{rl}& p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4\\ & p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}④\end{array}$$
      而
      $$\gcd \left(4,8\right)=4,4|\left(-3-1\right),4|-1-\left(-1\right),4\cancel{|}\left(3-1\right),4\cancel{|}1-\left(-1\right)$$
      因此①，③无解；②，④有解。且由于$4=2^2,8=2^3$，由首一一次同余式组模数不满足两两互素时的解法，有
      $$\begin{array}{rl}& ②\iff p\equiv -3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\\ & ④\iff p\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8\end{array}$$

3. 综上，$2$是模$p$的平方剩余时，素数$p$满足
   $$p=\pm 2p\equiv 1,3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$$
   2是模$p$的平方非剩余时，素数$p$一定是奇素数且满足
   $$p\equiv -3,-1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$$
   
   

设$n$是正整数，$4n+3,8n+7$都是素数，说明$$2^{4n+3}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8n+7$$由此证明$$23|\left(2^{11}-1\right),47|\left(2^{23}-1\right),503|\left(2^{251}-1\right)$$

证明
  $8n+7$是素数且一定是奇数，由于$8n+7\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8$，因此有
$$\begin{array}{c}\left(\frac{2}{8n+7}\right)=1\\ \\ \Rightarrow 2^{4n+3}=2^{\frac{8n+7-1}{2}}\equiv \left(\frac{2}{8n+7}\right)=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8n+7\end{array}$$
令$n=2$，则有$8n+7=23$是素数，$4n+3=11$是素数，
$$2^{11}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23\Rightarrow 2^{11}-1\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}23\Rightarrow 23|\left(2^{11}-1\right)$$
令$n=5$，则有$8n+7=47$是素数，$4n+3=23$是素数，
$$2^{23}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}47\Rightarrow 2^{23}-1\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}47\Rightarrow 47|\left(2^{23}-1\right)$$
令$n=62$，则有$8n+7=503$是素数，$4n+3=251$是素数，
$$2^{251}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}503\Rightarrow 2^{251}-1\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}503\Rightarrow 503|\left(2^{251}-1\right)$$