连续时间系统的冲激响应和零状态响应

实验原理

线性时不变系统用微分方程描述：
y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t) (2-1)

（1）系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到。

在MATLAB中，用lsim函数求解LTI的零状态响应，其调用形式为： y=lsim(sys,f,t) (2-2)
其中，t表示计算系统响应的抽样点向量，f是系统输入信号向量，sys是LTI系统模型，用来表示微分方程，差分方程，状态方程。在求解微分方程时，微分方程的LTI系统模型sys要借助MATLAB中的tf函数来获得，其调用形式为： sys=tf(b,a) (2-3)
式中，向量a表示响应及其各阶导数的系数：a=[ an an-1 … a1 a0],一般an=1；
向量b表示激励及其各阶导数的系数： b=[ bm bm-1 … b1 b0]
t表示计算响应所需的时间向量。例如t＝c∶d∶e,其中c是起始时间,e是结束时间,d是时间增量。为了做出平滑的曲线,向量t的增量需要取得足够小。需要注意的是,这里向量a和b的样本值都是按照导数阶数递减的次序排列的。
也可以把式（3-2）、（3-3）合在一起用，即调用格式为： y=lsim(b,a,f,t) (2-4)

（2）系统的单位冲激响应是单位冲激信号作用在系统产生的零状态响应。

在MATLAB中，用impulse函数求解LTI的冲激响应，调用形式为： y=impulse (b,a,t)

例题

微分方程为是
，输入激励为
，求其零状态响应和单位冲激响应,并与用解析式表示的结果进行比较。
用MATLAB函数求解冲激响应的程序如下：
clc;clear
t=[0:0.1:10];
b=[1];
a=[1 3];
x=exp(-1t);
yf=lsim(b,a,x,t);
yf1=(1/2)(exp(-1t)-exp(-3t));
plot(t,yf,‘o’,t,yf1,‘r’);
title(‘零状态响应’);
xlabel(‘t’);ylabel(‘yf(t)’);
legend(‘lsim函数计算结果’,‘解析式计算结果’);
h=impulse(b,a,t);
h1=exp(-3*t);
figure;
plot(t,h,‘o’,t,h1,‘r’);
title(‘单位冲激响应’);
xlabel(‘t’);ylabel(‘h(t)’);
legend(‘impulse函数计算结果’,‘解析式计算结果’);