矩阵快速幂——从入门到放弃(看这一篇就够了)

Part 1: 矩阵的运算

矩阵有许多种运算，这里列举出其中最常用的三个。为了方便书写，假设参与运算的两个矩阵是$A,B$，表示运算结果的矩阵是$C$。

①矩阵加法。对于两个大小相同的矩阵，我们可以相加。

其中$C_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}$。

②矩阵减法。对于两个大小相同的矩阵，我们可以相减。

其中$C_{i,j}=A_{i,j}-B_{i,j}$。

③矩阵乘法。只要$A$的列数等于$B$的行数就可以相乘。

其中$C_{i,j}={\sum }_{i=1}^m{A}_{i,k}{B}_{k,j}$

换句话说，$C_{i,j}$表示对于$A$的第$i$行，$B$的第$j$列组成的两个长度相等的序列，对应位置相乘的值之和。

可以发现，矩阵乘法是有结合律与分配率的，但绝对没有交换律。

现在，可以说我们学会了许多种矩阵运算。现在，我们通过$4$道例题与许多练习题，对矩阵加深理解。

Part 2: 例题与讲解

例1. 斐波那契数列

Description

求斐波那契数列的第$n$项的值。由于答案可能过大，请将其对$10^9+7$取模。

$n＜2^{63}$。

Solution

显然，我们不能采用$O(n)$的线性递推解法。

那我们怎么办呢？先把递推的式子给写下来：

$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$

现在，我们开始考虑用矩阵乘法来优化。即，我们考虑，如何从$[F_k,F_{k-1}]$推到$[F_{k+1},F_k]$。

显然，$F_{k+1}=F_k+F_{k-1},F_k=F_k$。所以，我们可以得到一个式子：

$[F_k,F_{k-1}]\times [\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}]=[F_{k+1},F_k]$

这个式子显然是正确的，可以结合第一部分中的矩阵乘法的定义与$F_{k+1}=F_k+F_{k-1},F_k=F_k$来证明。读者可以自己推一下。

简记$M$表示矩阵$[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}]$，那么答案就是$M^{n-1}$。

由于矩阵乘法存在结合律，所以我们可以使用矩阵快速幂来优化这个乘法。

时间复杂度$O(2^{3}logn)$。

Summary

请各位读者总结一下三个问题:

①我们是如何构造矩阵的？

②矩阵快速幂起到了怎么样的效果？

③什么样的题目可以用矩阵快速幂来优化？

练1. P2359三素素数(数据加强: $n\le 10^{18}$)

练2. P5343[XR-1]分块

练3. P1939[模板]矩阵加速

例2. [SCOI2009]迷路

Description

给定一个$n$个点，$m$条边的有向图，每条边都有一个长度。求有多少种路径，使得从$1$号节点到$n$号节点走过的长度为$t$。

由于答案可能过大，请将其对$10^9+7$取模。

$n\le 10,t\le 10^{18}$

Solution

请确保您已经$AC$前面的练$1,2,3$。

首先，假设所有边权都是$1$，那么本题做法就十分显然了：直接将图转化为一个邻接矩阵(GA)，然后答案就是该矩阵$t$次方的第$1$行第$n$列。

但是如果边权不一定全是$1$呢？那我们就把边权变成$1$呗。即，我们拆点，假设存在一个点$a$，那么我们新建节点$b,c,d\dots \dots$，使得$b$到$a$有一条长度为$1$的有向边，$c$到$b$也有一条长度为$1$的有向边……

对于一条连接$u,v$的边权为$w$，我们只需要从$u$到离$v$距离为$w-1$的点连一条边权为$1$的边。

此时，点数为$10n$，我们直接对它做矩阵快速幂即可通过本题。

时间复杂度$O(logt(10n{)}^3)$。

Summary

本题使用矩阵快速幂优化法宝1——拆点来把整个邻接矩阵转化为了一个$01$的矩阵，然后使用快速幂优化了本题。

同时，我们可以总结一下：我们是如何想到用矩阵快速幂去优化的？

事实上，很简单：看数据范围。如果数据中存在某个值特别小，往往是：

①让我们枚举它的状态；
②让我们使用状压$dp$；
③让我们构造一个长宽为该值的矩阵，并用该矩阵来优化$dp$。

事实上，许多矩阵快速幂的题目与图论有所结合。

例3. [NOI Online #3提高组]魔法值

Description

给定一个$n$个节点，$m$条边的无向图。每次所有节点都会同时变为所有与其相连的节点的权值的异或和。求变换$t$次之后，$1$号节点的权值。多次询问。

由于答案可能过大，请将其对$10^9+7$取模。

$n,q$(询问次数)$\le 100$, $t\le 2^{62}$。

Soluion

首先，我们通过无向图构造矩阵，对于每次询问直接做矩阵快速幂，时间复杂度为$O(q{n}^{3}log{f}_i)$。期望得分$40$分。

我们考虑如何将其优化为$O(q{n}^{2}log{f}_i)$。即，我们将$f_i$进行二进制拆分，倍增预处理；查询的时候，用$1\times n$的矩阵乘上对应的二进制位即可。

时间复杂度$O(log{f}_i{n}^3+q{n}^{2}log{f}_i)$，可以通过本题。

Summary

对于这一类多次询问的问题，我们可以使用倍增预处理+向量乘矩阵来优化。

练4 [NOI2020D1T1]美食家

提示: 分段转移，拆点+向量乘矩阵优化，略微卡常。

例4. [TJOI2017]可乐

Description

给定一个$n$个节点，$m$条边的无向图，一只可爱的机器人从$1$号节点出发，每次可以选择呆在原地，去一个相邻点或者自爆。求机器人在$t$秒内的行为方案数。

由于答案可能过大，请将其对$10^9+7$取模。

$n\le 30,t\le 10^6$

Solution

我们唯一要做的，就是考虑如何维护"呆在原地"与"自爆"的情况。添加的每种情况，我们都尝试转化为添加一条边或一个点。

①呆在原地: 对于每个节点，有一个自环；

②自爆: 构造节点$0$，其他节点可以过去，但它不能到别的节点。这里的$0$号节点象征着"自爆"。

于是，我们加了一些边与$0$号节点，现在题目就不存在呆在原地与自爆的情况了。

时间复杂度$O(n^{3}logt)$。

Summary

有时候，对于一些限制，我们可以通过一些耍巧的方式来添加一些边与节点，然后就把题目大大地简化了。

例5. 旅行

Description

珂朵莉要去旅行啦！

她旅行的地方是一个$n$个节点，$m$条边的有向图，走每条边都花费$1$个时间单位，且她从$1$号节点出发。定义$f_{x,y,t}$表示珂朵莉从$x$走到$y$且总共花费$t$的时间单位的方案数。

$q$次询问，每次询问给定$x,y,l,r$，需要你求出$$\sum _{i=l}^r{f}_{x,y,i}$$的值。

由于答案可能过大，请将其对$10^9+7$取模。

$q,n\le 50,l,r\le 10^{18},r-l\le 100$

Solution

如果我们枚举$i$，对于不同的$i$分别做一次矩阵快速幂，那么时间复杂度会爆炸。

不用慌，我们写下式子：$$\sum _{i=l}^r{M}^i$$

其中$M$表示我们构造的矩阵。

观察一下这个式子，我们可以通过矩阵的分配率来把它变一下: $$M^{l-1}\sum _{i=1}^{r-l+1}{M}^i$$

由于$r-l\le 100$，所以我们可以预处理出$M^1,M^2,M^3\dots \dots M^{101}$并维护这个矩阵的前缀和；对于询问我们只需要求出$M^{l-1}$，然后将$M^{l-1}$乘上${\sum }_{i=1}^{r-l+1}{M}^i$即可。

时间复杂度$O(100n^3+q(logt+n^3))$，可以通过本题。

Summary

刚开头我们介绍了矩阵乘法与矩阵加法，主要就用在了分配率上。