统计模式识别学习笔记（十一）

密度估计的非参数法

在参数法中，我们事先规定了密度函数的结构形式。然而，在很多情况下，我们无法用一组参数来刻画密度函数，这时就需要借助密度估计的非参数法了。

1. 密度估计的基本性质

• 无偏性

  如果 $X_1,...,X_n$ 是独立同分布的 $d$ 维随机变量，其连续密度为 $p(x)$
  $$p(x)⩾0,{\int }_{R^d}p(x)dx=1$$
  既然这些随机变量的测量值已知，如何估计 $p(x)$ 呢？如果估计量 $\hat{p}(x)$ 满足上式，那么它就是有偏的，特别的：
  $$E[\hat{p}(x)]\ne p(x)$$
  其中，
  $$E[\hat{p}(x)]=\int \hat{p}(x|x_1...x_n)p(x_1)...p(x_n)d{x}_1...d{x}_n$$
  当样本足够大，即 $n\to \infty$ 时，可以认为估计值是无偏的。

• 一致性

  M S E x ( p ^ ) = E [ ( p ^ ( x ) − p ( x ) ) ] 2 = v a r ( p ^ ( x ) ) + { b i a s ( p ^ ( x ) ) } 2 MSE_x(\hat{p})=E[(\hat{p}(x)-p(x))]^2\\=var(\hat{p}(x))+\lbrace bias(\hat{p}(x))\rbrace^2 MSEx​(p^​)=E[(p^​(x)−p(x))]2=var(p^​(x))+{ bias(p^​(x))}2
  其中
  $$\begin{gathered} var(\hat{p}(x))=E[(\hat{p}(x)-E[\hat{p}(x)]{)}^2] \\ bias(\hat{p}(x))=E[\hat{p}(x)]-p(x) \end{gathered}$$
  积分平方误差 $(ISE)$ 和均值积分平方误差 $(MISE)$ 的内容就不再说明了。

2. $k$ 近邻法

$k$ 近邻法是一种非常简单并且直观的方法。给定一个训练数据集，将测量值 $x$ 分配到 $C$ 个类中之一的 $k$ 近邻分类过程如下：

• 用适当的距离度量确定 $k$ 个距测量值 $x$ 最近的训练数据向量。
• 将 $x$ 归入 $k$ 个近邻向量投票最多的那个类。

需要实现准备的是近邻数量 $k$ 、距离度量和训练数据集。

接下来，让我们来看一下数学的表现形式：

训练数据集为： T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) } T=\lbrace (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N) \rbrace T={ (x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xN​,yN​)} 其中，$x_i$ 是特征向量，$y_i$ 是特征向量的类别，而测量值仍为 $x$ 。

也就是说，根据给定的距离度量，在训练集中找到与测量值最近的 $k$ 个点，然后再根据这 $k$ 个点中 $x_1,...,x_k$ 的类别数量判断出测量值 $x$ 的类别。有时候，可能会出现多解的情况，可以在通过平均向量再次刻画距离的度量。就好比，两组数据平均值相同，但是方差及标准差不同，为了稳定性我们往往会选择标准差小的。

$$y=argma{x}_{c_j}\sum _{x_i\in N_k(x)}I(y_i=c_j),i=1,2,...,N;j=1,2,...,K$$

对于公式，不再做任何解释。$k$ 近邻法的特殊情况是 $k=1$ 的情形，也被称为最近邻算法。

$$L_p(x_i,x_j)=(\sum _{l=1}^n|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}{|}^p{)}^{1/p}$$

当 $p=2$时，是我们熟知的欧氏距离；

当 $p=1$时，称为曼哈顿距离；

当 $p=\infty$ 时，它是各个坐标距离的最大值，形式如下：
$$L_{\infty }(x_i,x_j)=\underset{i}{\max }|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$$

$k$ 值的选择通常会对结果产生极大的影响。在应用中，一般选取一个比较小的数值，最优解通过交叉验证法来选取。

3. 题外话

差不多一周的时间没有更新博客了，这一段时间里我也在反思，应该以一个怎样的视角来学习手中的这几本资料。那么在下一篇博客中，会继续介绍 $kd$ 树的概念，也是 $k$ 近邻法的一种实现。浏览量破2k了，谢谢各位。