浅谈堆与并查集

堆与并查集在竞赛中很少直接涉及，但是我们可以利用这两种数据结构对算法进行优化。

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堆

定义

堆是一棵完全二叉树，且对于任意结点满足一定的父子关系。
用数组表示堆时，若有一个结点$A[i]$，那么它的父亲是$A[\lfloor \frac{i}{2}\rfloor ]$¹，它的左儿子是$A[2\times i]$，它的右儿子是$A[2\times i+1]$
如果父结点永远小于等于儿子结点，那么这样的堆称作小根堆
如果父结点永远大于等于儿子结点，那么这样的堆称作大根堆

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相关操作

堆有两种操作：

1. 加入元素
2. 取出堆顶

加入元素算法步骤：

1. 在堆尾加入元素
2. 比较它和它父结点的大小，如果不符合当前堆规定的父子关系，交换它的父结点，重复此步骤，直至它和它父结点符合当前堆的父子关系，或此元素已成为堆顶

代码如下（以小根堆做示范）：

void putx(int x)
{
    
    
	int now,next;
	A[++size]=x;// 在堆尾加入元素
	now=size;
	while(now>1)// 重复此步骤，直至它和它父结点符合当前堆的父子关系，或此元素已成为堆顶
	{
    
    
		next=now/2;
		if(A[now] <= A[next]) break;// 比较它和它父结点的大小
		swap(A[now],A[next]);// 如果不符合当前堆的父子关系，交换它的父结点
		now=next;
	}
}

时间复杂度$O(\log size)$

取出堆顶算法步骤：

1. 取出堆顶元素
2. 维护堆

代码如下（以小根堆做示范）:

int popx()
{
    
    
	int now=1,next=0;
	int ret=A[1];
	A[1]=A[size};//将堆尾摆上堆顶
	size--;
	while(now*2<=size)
	{
    
    
		next=now*2;
		if(next<size&&A[next+1]<A[next]) next++;//如果可以到达右儿子下一个位置就去右儿子
		if(A[now]>=A[next]) break;//判断是否符合当前规定的父子关系
		swap(A[now,A[next]);
		now=next;
	}
	return ret;
}

时间复杂度$O(\log size)$

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STL

在C++的STL中有大根堆即优先对列
需要的头文件

#include<queue>

定义的方式

priority_queue<数据类型> 变量名;

转成小根堆的两种方式

1. 存入的元素的相反数
2. 在尖括号中搞些事情（注意：最后两个尖括号之间要有空格，否则编译器会认为这是一个流的符号）

   priority_queue<数据类型 ,vector<数据类型 > ,greater<数据类型 >　> 变量名；
   //                                                这个不能少 ↑　
   

STL中提供的常用操作：
加入元素

heap.push(x);

获得堆顶元素

int x=heap.top();

删除堆顶

heap.pop();

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并查集

定义

用于查询或合并$a,b$两个元素所在的集合的数据结构
常用数组$father[i]$表示$i$的父亲

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相关操作

一共有四种操作：

1. 初始化
2. 寻找一个元素的根结点
3. 合并两个集合
4. 判断两个元素是否在同一集合

初始化

for(int i=1;i<=n;i++) father[i]=i;//i的根结点是它自己

寻找一个元素的根结点

int findx(int x)
{
    
    
	if(father[x]!=x) return findx(father[x]);
	return father[x];
}

合并两个集合

void unionx(int x,int y)
{
    
    
	x=findx(x);y=findx(y);
	father[y]=x;
}

判断两个元素是否在同一集合

bool judge(int x,int y)
{
    
    
	x=findx(x);y=findx(y);
	if(x==y) return 1;
	return 0;
}

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1. $\lfloor x\rfloor$对$x$向下取整 ↩︎