Football

题目：
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/107668

给你$2^n$个球队，每一轮相邻的球队进行比赛。告诉你$i$球队战胜$j$球队的概率为$P_{ij}$，问最后哪支球队赢得概率最大！

思路：
令$f(i,j)$表示球队$i$能够晋级第$j$轮的概率，初始为第$0$轮，$f(i,0)=1$，然后对于所有可能在第$j$轮和球队$i$比赛的球队$k$，有
$$f(i,j)=\sum _{k}f(i,j-1)\ast P_{ik}\ast f(k,j-1)$$
解释就是$i$球队晋级第$j$轮就要先晋级第$j-1$轮，并且打败$j-1$轮所有可能的对手。
另外我们可以确定球队i在第j轮是第几个，比如
第$0$轮 $1，2，3，4，5，6，7，8$
第$1$轮 $1，3，5，7$
第$2$轮 $3，5$
第$3$轮 $5$
观察$5$，会发现球队$i$在第$j$轮的位置为$\lceil \frac{i}{2^j}\rceil$，相当于第$j$轮以$2^j$为一组，每组胜出一个人，则$i$就是第$\lceil \frac{i}{2^j}\rceil$组。

• 如果$\lceil \frac{i}{2^j}\rceil$为奇数，则和$\lceil \frac{i}{2^j}\rceil +1$组打。
• 如果$\lceil \frac{i}{2^j}\rceil$为偶数，则和$\lceil \frac{i}{2^j}\rceil -1$组打。

#include<stdio.h>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=8;
const int eps=1e-6;
double a[1<<N][1<<N],f[1<<N][N],maxi;
int n,locate;
double dfs(int x,int y)
{
    
    
    if(f[x][y])
        return f[x][y];
    f[x][y]=0;
    int tu=x%(1<<(y-1))?x/(1<<(y-1))+1:x/(1<<(y-1));//x为第几个
    tu=tu%2?tu+1:tu-1;//x和哪组打
    for(int i=1; i<=1<<n; i++)//枚举可能的对手
    {
    
    
        int tu1=i%(1<<(y-1))?i/(1<<(y-1))+1:i/(1<<(y-1));
        if(tu1==tu)
            f[x][y]+=a[x][i]*dfs(i,y-1);
    }
    f[x][y]*=dfs(x,y-1);
    return f[x][y];
}
int main()
{
    
    

    while(scanf("%d",&n)==1&&n!=-1)
    {
    
    
        for(int i=1; i<=1<<n; i++)
            for(int j=1; j<=1<<n; j++)
                scanf("%lf",&a[i][j]);
        for(int i=1; i<=1<<n; i++)
            f[i][0]=1.0;
        for(int i=1; i<=1<<n; i++)
        {
    
    
            double res=dfs(i,n);
            if(res-maxi>eps)
                maxi=res,locate=i;
        }
        printf("%d\n",locate);
    }
    return 0;
}