洛谷 P2512 [HAOI2008]糖果传递【思维】

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题意：

有$n$个小朋友坐成一圈，每人有$a_i$个糖果
每人只能给左右两人传递糖果，每次传递一个糖果代价为$1$

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分析：

解决这题我们可以用到整体思想，先考虑不是环形的情况，因为我们要使得每个人的数量都是平均数，那么若我们将一个块看做一个整体，在其内部均分和其他数是没有关系的，至于要达到平均数，则需要与外面的数进行交换，那么这个交换的代价是多少呢
设$S_i$代表前$i$的糖果拥有数的前缀和，$v$是平均数，就有
$$ans=\sum _{i=1}^n|S_i-v|$$
再设$S_i^{\prime }$表示$S_i-v$的前缀和
当考虑到环形的时候，我们所要想的就是在哪里进行断开，能使我们的答案最小
设$k$代表我们枚举的断点
$$ans=\sum _{i=1}^n|S_i^{\prime }-S_k^{\prime }|$$
有个很好用的结论就是当$S_k^{\prime }$是中位数时，上面式子的答案就会最小

数学证明
在数轴上有$n$个点，找出一个点$x$，使得$ta$到各个点的距离和最小
如果我们把数轴上的点两两配对，最大的配最小的，次大的配次小的$\dots \dots$
则到每组点最近的距离的点在这两个点中间，那么如果有奇数个点，那么显然中间那个点便为所求
$\therefore$该点表示的数是这$n$个数的中位数得证
$from$ 洛谷题解

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代码：

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#define LL long long 
using namespace std;
inline LL read() {
    
    
    LL d=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){
    
    if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){
    
    d=d*10+s-'0';s=getchar();}
    return d*f;
}
LL a[1000005],s[1000005],v=0;
int main()
{
    
    
	LL n=read();
	for(LL i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),v+=a[i];
	v/=n;
	for(LL i=1;i<=n;i++) a[i]-=v,s[i]=s[i-1]+a[i];
	sort(s+1,s+1+n);
	LL mid=s[n/2+1];
	LL ans=0;
	for(LL i=1;i<=n;i++) ans+=abs(s[i]-mid);
	cout<<ans;
	return 0;
}