CSP-s初赛复习

难题

NOIP2010 问题求解 T2

无向图G有7个顶点，若不存在由奇数条边构成的简单回路，则它至多有______条边。

答案：12。

如果要满足上诉条件，那么G是一个二分图。

因为要求边数最多，因此二分图的左右两半点数要尽可能平均，于是答案就是$3\times 4=12$。

NOIP2010 问题求解 T3

记T为一队列，初始时为空，现有n个总和不超过32的正整数依次入队。如果无论这些数具体为何值，都能找到一种出队的方式，使得存在某个时刻队列T中的数之和恰好为9，那么n的最小值是_______。

答案：18
满足条件的队列其实就是其中连续的一段数的和为9的队列。
令前缀和数组$S_i={\sum }_{j=1}^i{S}_j(S_0=0)$，那么条件就变为了$\exists i,j\in [1,n],i<j,S_j-S_i=9$。
然后通过列举差为9的数列发现，最多可以选出18个数使得任意两个数的差不为9（其中0和32一定要选），如果选19个，就一定存在相差为9的数对，所以答案是18，因为18个数的序列形成的前缀和有19个。

某机构模拟卷 单选题

已知参数k，对于递归式$T(n)=k\sqrt{n}T(\sqrt{n})+n$的说法，正确的是________
A.当$k=1$时，$T(n)=O(n\log n)$
B.当$k=1$时，$T(n)=O(n{\log }^{2}n)$
C.当$k=4$时，$T(n)=O(n\log n)$
D.当$k=4$时，$T(n)=O(n{\log }^{2}n)$

答案：D（我选了A）

• 当k=1时，发现 $$\begin{array}{rl}T(n)& =\sqrt{n}T(\sqrt{n})+n\\ & =n+(\sqrt{n}{)}^2+\cdots \end{array}$$
  其实就是一堆n加在一起，其中参数每下一层都被开了平方。这就相当于把n用二进制数表示出来，每一次都把位数除以2，这样的次数是${\log }_2{\log }_{2}n$的，所以$T(n)=O(n{\log }_2{\log }_{2}n)$。
• 当k=4时，发现$$\begin{array}{rl}T(n)& =(1+4+16+\cdots )n\\ & =4^{{\log }_2{\log }_{2}n}n\end{array}$$由于$2^{{\log }_2{\log }_{2}n}=\log n$，$4^{{\log }_2{\log }_{2}n}n=n{\log }^{2}n$，故选D

NOIP2012 多选题 T7

答案：AB（我选了ABCD）
A和B，根据多年代码经验，是对的。
C的话，反例是a=T,b=T,c=F；D的反例是a=T,b=F,c=F。
这种情况不是很多的题最好列表格，每种情况都列出来计算。

NOIP2012 多选题 T5

一棵二叉树一共有19个节点，其叶子节点可能有（       ）个。
A.1     B.9     C.10     D.11

答案：ABC（我选了AC）
二叉树的叶子节点至少有一个（如下图所示）

可以考虑把6号节点接到4号节点下面，这样就有2个叶子节点了。

再把4号节点接到2号节点下面，就有3个叶子节点了。

以此类推，若这个二叉树有n个节点，最后可以得出一棵有$\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor$个叶子节点的二叉树。
因此二叉树的叶子节点数可能为$\left[1,\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor \right]$中的任意整数。

NOIP2012 问题求解 T1

答案：256
发现直接构造布尔表达式很麻烦，不如从取值方面考虑。
如果有两个布尔表达式不等价，那么它们在p,q,r取某些值时值不同（用三元组(p,q,r)表示这些取值）。因此不妨把(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)……所对应的取值列举出来，只要有某一位不同即是不同的布尔表达式。一共有$2^3=8$位，共有$2^8=256$种取值。

NOIP2012 问题求解 T2

答案：5536（我算出来的是6436）
可以用DP求解。设$f_{i,0/1}$表示在以 i 为根的子树中，节点 i 选或不选时的不同独立集数量。
那么可以得到状态转移方程
$$\begin{array}{rl}{f}_{i,0}& =\prod _{j\in so{n}_i}{f}_{j,0}+f_{j,1}\\ f_{i,1}& =\prod _{j\in so{n}_i}{f}_{j,0}\end{array}$$
边界条件是$f_{i,0}=f_{i,1}=1(\text{i是叶子节点})$。
这样子暴力计算就好了。最后可以得出根节点的左右两个儿子的$f_{i,0}$值都为44，$f_{i,1}$值为16（左右两个子树是对称的）
然后我就算错了……

NOIP2017 单选题 T8

由四个不同的点构成的简单无向连通图的个数是（     ）。
A.32     B.35     C.38     D.41

答案：C（我选了B）
不妨考虑点数分别为1,2,3,4时的答案（$an{s}_i$表示点的编号为 1 ~ i 的点组成的无向连通图的个数）：

• 显然$an{s}_1=1$。
• 显然$an{s}_2=1$。
• 如果1、2之间没有连边，那么3就必须和它们都连边；如果1、2之间有连边，那么3就可以选择向这个块连3-1的边或3-2的边，也可以两条都连上，但是不能不连。因此$an{s}_3=an{s}_1+an{s}_2\times (2^2-1)=4$。
• 分类讨论，得到$an{s}_4=1+9+28=38$：
  • 如果1、2、3之间没有连边，那么4就必须和它们都连边，只有1种方案；
  • 如果4和一个大小为1的块和一个大小为2的块连边，那么4就必须和大小为1的块连边，且要和大小为2的块连1~2条边，共有$\left({}_2^3\right)\times \left(2^2-1\right)=9$种方案（$\left({}_2^3\right)$表示给那3个点标号的方案）；
  • 如果4和1个大小为3的块连边，那么有$an{s}_3\times \left(2^3-1\right)=28$种方案。

概念题

某机构模拟卷 单选题

下列算法中，没有用到贪心思路的算法为________
A.计算无向图最小生成树的Kruskal算法。
B.计算无向图点双连通分量的Tarjan算法。
C.计算无向图单源最短路的Dijkstar算法。
D.以上算法均使用了贪心的思路。

答案：B（我选了D）
我对贪心算法的理解错了……

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解。

Tarjan算法并没有进行选择，它只有一种解，故选B。

某机构模拟卷 单选题

若要使用g++编译器，开启-Ofast优化，且使用C++11标准，将源文件prog.cpp编译为可执行程序exec，且保留调试信息，则需要使用的编译命令为________
A.g++ prog.cpp -Ofast exec -std=c++11 -debug
B.g++ prog.cpp -Ofast exec -std=c++11 -g
C.g++ prog.cpp -o exec -Ofast -std=c++11 -debug
D.g++ prog.cpp -o exec -Ofast -std=c++11 -g

答案：D（我选了A）
注意到题目要求调试，因为调试的英文为debug，而我记得确实有debug的命令，于是就在A和C中随机选了一个（光荣掉坑）。
据说-debug的语句是不合法的，由于编译信息的基本格式是gcc 源文件名 -o 程序名，因此选D。

NOIP2010 单选题 T2

一个字节（byte）由（      ）个二进制位组成。
A.8    B.16    C.32    D.以上都有可能

答案：A
8位=1B 1024B=1KB 1024KB=1MB 1024MB=1GB 1024GB=1TB