前言
填一个月前的坑。这次比赛的题目质量很高，我到现在才改完。
题目
https://gmoj.net/senior/#main/show/3983
题解
题目大意是给你一个网格图，你可以以任意一点为中心进行任意次“十字变换”或“X型变换”。接着有T个询问，每次问你能否通过变换把(x,y)弄到(0,0)。
比赛时考虑把X型变换全部变成十字变换，然而这其实并没有用。
题目给的这个L是包括了变换中心的，可以把它去掉，令 l = L − 1 l=L-1 l=L−1。
发现对于一个坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)，可以进行如下操作（ 1 ≤ i ≤ l 1\leq i\leq l 1≤i≤l）：
- ( x ± i , y ± i ) (x\pm i,y\pm i) (x±i,y±i)
- ( x ± 2 i , y ) (x\pm 2i,y) (x±2i,y)
- ( x , y ± 2 i ) (x,y\pm 2i) (x,y±2i)
因为不同象限的点的走法是一样的，为了方便处理，可以把每个点都翻折到第一象限中。
看到如上的走法，不难发现，若x和y的奇偶性不同，那么无法到达。
还有一个重要的性质：斜着走最多只会走两次。
这里给出证明（不妨把斜着走的那几步都平移在起来，假设 ( x , y ) (x,y) (x,y)连续斜着走了3次后变成 ( x − s t e p , y − s t e p ) (x-step,y-step) (x−step,y−step)）
如果 s t e p ≤ 2 l step\leq 2l step≤2l，那么不如斜着走2步优；
如果 s t e p > 2 l step>2l step>2l，那么前 2 l 2l 2l的路程可以通过操作2、3得到。
并且可以发现，如果斜着走了2步，当且仅当step是奇数。
然后下面就是贪心处理环节了（说真的，这题的贪心很难想到，要考虑的情况很多），不妨设x≥y，反之将x和y交换即可：
- 如果x+y是奇数，无解；
- 把(x,y)移动到较小的范围，于是分别横着走、竖着走，变成 ( x m o d 2 l , y m o d 2 l ) (x\mod 2l,y\mod 2l) (xmod2l,ymod2l)（记为 ( x ′ , y ′ ) (x',y') (x′,y′)），令 a n s 1 = ⌊ x 2 l ⌋ + ⌊ y 2 l ⌋ ans1=\left\lfloor\cfrac{x}{2l}\right\rfloor+\left\lfloor\cfrac{y}{2l}\right\rfloor ans1=⌊2lx⌋+⌊2ly⌋。
- 下面再进行分类讨论：
- 如果 y ≥ 2 l y\geq 2l y≥2l，那么可以让x’或y’中的较小者最后一步少跳一点，使得两者都变成较大值，从而用操作1解决问题， a n s 2 = ⌊ max ( x ′ , y ′ ) l ⌋ ans2=\left\lfloor\cfrac{\max(x',y')}{l}\right\rfloor ans2=⌊lmax(x′,y′)⌋；
- 如果 x ≥ 2 l , 且 x ′ ≤ y < 2 l x\geq 2l,且x'\leq y<2l x≥2l,且x′≤y<2l，那么可以让x’最后一步少跳一点，使得x’=y，再用操作1解决问题， a n s 2 = ⌊ y l ⌋ ans2=\left\lfloor\frac{y}{l}\right\rfloor ans2=⌊ly⌋；
- 考虑任意的 ( x ′ , y ′ ) (x',y') (x′,y′)怎么跳。不妨设x‘≥y’，反之将x‘和y’交换即可。如果 y ′ ≥ l y'\geq l y′≥l，那么x‘和y’减去l，同时ans2加上1（下同）。接着再同时跳y‘步，此时坐标为 ( x ′ − y ′ , 0 ) (x'-y',0) (x′−y′,0)。如果此时x‘变成了奇数，就将它+1变回偶数（这只是第一次少跳一步而已，不是新的操作，目的是方便接下来的处理）。再用一次操作2解决问题。
- 还有一种走法： a n s 2 = [ x ′ > 0 ] + [ y ′ > 0 ] + [ 2 ∤ x ′ ] ans2=[x'>0]+[y'>0]+[2\not|x'] ans2=[x′>0]+[y′>0]+[2∣x′]。
这题最恶心的就是高精度运算了，好在可以不压位。
CODE
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define P 100000000
#define N 505
int tmp[N];
inline char gc()
{
static char buf[100005],*l=buf,*r=buf;
return l==r&&(r=(l=buf)+fread(buf,1,100005,stdin),l==r)?EOF:*l++;
}
struct bignum
{
long long a[N];int len;
bignum(){
memset(a,0,sizeof a),len=1;}
inline void clear(){
memset(a,0,sizeof a),len=1;}
inline void read()
{
char ch;int cnt=1;
memset(a,0,sizeof a);
while(ch=gc(),ch<'0'||ch>'9');tmp[1]=ch-'0';
while(ch=gc(),ch>='0'&&ch<='9') tmp[++cnt]=ch-'0';
len=cnt>>3;if(len<<3<cnt) ++len;
for(int i=cnt,k=1;k<=len;i-=8,++k)
for(int j=7;j>=0;--j) if(i>j) a[k]=a[k]*10+tmp[i-j];
}
inline void print()
{
printf("%lld",a[len]);
for(int i=len-1;i;--i) printf("%08lld",a[i]);
putchar('\n');
}
}_1,_0,re,inf;//re是余数
inline int mymax(int x,int y){
return x>y?x:y;}
inline bignum move(bignum x)
{
if(x.len==1&&!x.a[1]) return x;
for(int i=x.len;i;--i) x.a[i+1]=x.a[i];
++x.len,x.a[1]=0;
return x;
}
inline bool judge(bignum x,bignum y) // x>y
{
if(x.len^y.len) return x.len>y.len;
for(int i=x.len;i;--i)
if(x.a[i]^y.a[i]) return x.a[i]>y.a[i];
return 0;
}
inline bignum plus(bignum x,bignum y)
{
bignum z;
z.len=mymax(x.len,y.len);
for(int i=1;i<=z.len;++i)
{
z.a[i]=x.a[i]+y.a[i];
if(z.a[i]>=P) z.a[i]-=P,++x.a[i+1];
}
if(z.a[z.len+1]) ++z.len;
return z;
}
inline bignum plus(bignum x,int y)
{
x.a[1]+=y;
for(int i=1;i<=x.len&&x.a[i]>=P;++i)
++x.a[i+1],x.a[i]-=P;
if(x.a[x.len+1]) ++x.len;
return x;
}
inline bignum minus(bignum x,bignum y)
{
for(int i=1;i<=x.len;++i)
{
x.a[i]-=y.a[i];
if(x.a[i]<0) x.a[i]+=P,--x.a[i+1];
}
while(x.len>1&&!x.a[x.len]) --x.len;
return x;
}
inline bignum times(bignum x,int y)
{
if(!y) return _0;
bignum z;z.len=x.len;
for(int i=1;i<=x.len;++i)
{
z.a[i]+=x.a[i]*y;
z.a[i+1]+=z.a[i]/P;
z.a[i]%=P;
}
while(z.a[z.len+1])
{
++z.len;
z.a[z.len+1]+=z.a[z.len]/P;
z.a[z.len]%=P;
}
return z;
}
inline bignum div(bignum x,bignum y) // ceil(x/y)
{
bignum z;
z.len=x.len,re.clear();
for(int i=z.len,l,r,mid,num;i;--i)
{
re=plus(move(re),x.a[i]);
l=num=0,r=P-1;
while(l<=r)
{
mid=l+r>>1;
if(judge(times(y,mid),re)) r=mid-1;
else l=mid+1,num=mid;
}
re=minus(re,times(y,num));
z.a[i]=num;
}
while(z.len>1&&!z.a[z.len]) --z.len;
return z;
}
inline bignum max(bignum x,bignum y){
return judge(x,y)?x:y;}
inline bignum min(bignum x,bignum y){
return judge(y,x)?x:y;}
inline int calc(bignum x,bignum y,bignum l) // (x,y)->(0,0) y<=x<2l
{
int s=0;
if(!judge(l,y)) x=minus(x,l),y=minus(y,l),++s;
if(!judge(x,_0)) return s;
if(x.a[1]&1) x=plus(x,1),y=plus(y,1);
x=minus(x,y),++s;
return s+judge(x,_0);
}
int main()
{
bignum ans1,ans2,x,y,l,_2l,xx,yy,z;
int t;_1.a[1]=1;
scanf("%d",&t);
inf.len=500;for(int i=1;i<501;++i) inf.a[i]=P-1;
while(t--)
{
x.read(),y.read(),l.read();
if(judge(y,x)) z=x,x=y,y=z;
if(x.a[1]+y.a[1]&1) puts("Poor MLG!");
else
{
l=minus(l,_1);
_2l=times(l,2);
ans1=div(x,_2l),xx=re;
ans1=plus(ans1,div(y,_2l)),yy=re;
if(judge(yy,xx)) z=xx,xx=yy,yy=z;
if(!judge(_2l,y)) ans2=div(xx,l),ans2=plus(ans2,judge(re,_0));
else if((!judge(_2l,x))&&!judge(xx,y)) ans2=div(y,l),ans2=plus(ans2,judge(re,_0));
else ans2=inf;
ans2=min(min(ans2,plus(_0,calc(xx,yy,l))),plus(_0,judge(xx,_0)+(int)judge(yy,_0)+((xx.a[1]&1)?1:0)));
ans1=plus(ans1,ans2),ans1.print();
}
}
return 0;
}