Codeforces 1043F Make It One 经典调和级数算法,组合数,dp

题意

$给你n个数,取出一些数使这些数的最大公约数为1,求取出数字的最少个数,不能输出-1.$
数据范围两个$3\times 10^5$.

秒杀

可以看到当几个质数分别为$a,b,c,d,e,f......$时,$abcde,abcdf,abcef,abdef,acdef,bcdef$能使答案为6.所以由于$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17>300000$,答案最大为7.
接下去从小到大枚举答案判断是否可行.
设当前取$i$个数字,则令$dp[j]$表示取$i$个数字使最大公约数为$j$的方法总数.
再令$cnt[j]$表示$a$数组中能被$j$整除的数字总数,则$$dp[j]=C_{cnt[j]}^i-\sum _{k=j\times 2}^{3\times 10^5}dp[k]$$
仔细思考一下很容易出来.
最后只要看$dp[1]$,不为$0$即可说明$i$可行,直接输出.
如果到了$7$还是没有答案,直接输出$-1$就好了.
代码如下.如果$dp[i]$非常大,只要选个大质数取模即可.

#include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious
/*省略*/
using namespace std;
const int yuzu=3e5,mod=1e9+7;
typedef ll fuko[yuzu|10];
fuko cnt,dp,jic={
    
    1},inv={
    
    1};

ll kasumi(ll a,ll b=mod-2) {
    
    
  ll ans=1;
  for (;b;b>>=1,a=a*a%mod) if (b&1) ans=ans*a%mod;
  return ans;
}

int main() {
    
    
  int i,n=read(),j,k;
  for (i=1;i<=n;++i) ++cnt[read()];
  for (i=1;i<=yuzu;++i) jic[i]=jic[i-1]*i%mod;
  inv[yuzu]=kasumi(jic[yuzu]);
  for (i=yuzu-1;i;--i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
  /*简单处理阶乘和逆元*/
  for (i=1;i<=yuzu;++i) {
    
    
    for (j=i<<1;j<=yuzu;j+=i) 
      cnt[i]+=cnt[j];
  } 
  for (i=1;i<=7;++i) {
    
    
    for (j=yuzu;j;--j) {
    
    
      dp[j]=cnt[j]<i?0:jic[cnt[j]]*inv[i]%mod*inv[cnt[j]-i]%mod;
      for (k=j<<1;k<=yuzu;k+=j) {
    
    
        dp[j]=(dp[j]-dp[k]+mod)%mod;
      }
    }
    if (dp[1]) return printf("%d\n",i)&0;
  } 
  puts("-1");
}

谢谢大家.