【图论】有向无环图及其应用

本文为图论的学习总结，讲解有向无环图及其应用。

拓扑排序

由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称为拓扑排序。偏序指集合中仅有部分成员之间可比较，全序指集合中全体成员可比较。

AOV（Activity On Vertex）-网：用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图。AOV-网中不能存在自环，检查自环的方法是：对有向图构造顶点的拓扑有序序列，若所有顶点都在序列中，则必定无自环。下图为一个 AOV-网，编程实现见【检查有向图自环】。

拓扑排序步骤为：

1. 从有向图中选一个没有前驱的顶点并输出
2. 从图中删除该顶点及其出边

重复上述两步直到所有顶点被输出，或当前图不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中有自环。算法复杂度为 $O(n+e)$。

则上图中的拓扑有序序列为：
$$(C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_7,C_9,C_{1}0,C_{1}1,C_6,C_{1}2,C_8)$$
当有向图中无环时，可利用 DFS 进行拓扑排序，最先退出 DFS 函数的顶点即出度为 0 的顶点，是拓扑有序序列的最后一个顶点，按推出 DFS 函数的先后顺序记录顶点序列即为逆向的拓扑有序序列。

关键路径

AOE（Activity On Edge）-网与 AOV 网相对，边表示活动。AOE-网是带权的有向无环图，通常用来估计工程的完成时间。下图为一个 AOE-网，代表了一个工程图。

其中 $v_5$ 表示 $a_4,a_5$ 已经完成，$a_7,a_8$ 可以开始。边权为活动执行天数。工程起点 $v_1$ 称为源点，结束点 $v_9$ 称为汇点。网中有很多工程可以并行进行，完成整个工程的最短时间是从开始点到完成点最长路径的长度，称为关键路径。

用 $e(i)$ 表示活动 $a_i$ 的最早开始时间，定义活动最迟开始时间，即不推迟整个工程完成的前提下，活动 $a_i$ 开始的最晚时间。$l(i)-e(i)$ 意味着活动 $a_i$ 的时间余量，将 $l(i)=e(i)$ 的活动称为关键活动，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动不会加快工程进度。

扫描二维码关注公众号，回复： 11853673 查看本文章

为了求得 $e(i),l(u)$，应该求得事件的最早发生时间 $ve(j)$ 和最迟发生时间 $vl(j)$。将活动 $a_i$ 由弧 $<j,k>$ 表示，持续时间记为 $dut(<j,k>)$，则有如下关系：
$$e(i)=ve(j)$$

$$l(i)=vl(k)-dut(<j,k>)$$

求解 $ve(j),vl(j)$ 分为两步：

1. 从 $ve(0)=0$ 向后递推：
   v e ( j ) = max ⁡ { v e ( i ) + d u t ( < i , j > ) } < i , j > ∈ T , j = 1 , 2 , . . . , n − 1 ve(j)=\max{\{ve(i)+dut(<i,j>)\}} \qquad <i,j>\in T,j=1,2,...,n-1 ve(j)=max{ ve(i)+dut(<i,j>)}<i,j>∈T,j=1,2,...,n−1
   其中 $T$ 是所有以第 $j$ 个顶点为头的弧的集合

2. 从 $vl(n-1)=ve(n-1)$ 向前递推：
   v l ( i ) = min ⁡ { v l ( j ) − d u t ( < i , j > ) } < i , j > ∈ S , i = n − 2 , . . . , 0 vl(i)=\min\{vl(j)-dut(<i,j>)\} \qquad <i,j>\in S, i=n-2,...,0 vl(i)=min{ vl(j)−dut(<i,j>)}<i,j>∈S,i=n−2,...,0
   其中 $S$ 是所有以第 $i$ 个顶点为尾的弧。

上面两步需要在拓扑排序的基础上进行求解。正拓扑排序求解 $ve(i)$，逆拓扑排序求解 $vl(i)$，可以用栈记录逆拓扑有序序列。算法复杂度为 $O(n+e)$。

关键活动的速度提高是有限的，只有在不改变网的关键路径情况下，提高关键路径的速度才有效。

有帮助的话点个赞加关注吧