图论算法(1、2)：图的分类、图的基本概念（无向图与有向图、无权图、无环图、完全图、二分图；简单图、连通分量、图的生成树、子图与母图）

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【参考资料】imooc 波波老师：玩转算法系列–图论精讲 面试升职必备（Java版）

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图论算法(1、2)：图的分类、图的基本概念（无向图与有向图、无权图、无环图、完全图、二分图；简单图、连通分量、图的生成树、子图与母图）
图论算法(3)：图的基本表示（邻接矩阵、邻接表、邻接矩阵与邻接表的对比）
图论算法(4)：图的深度优先遍历 DFS
图论算法(5)：图的广度优先遍历 BFS
图论算法(6)：LeetCode 图论算法练习（785.判断二分图、695.岛屿的最大面积、Floodfill 算法、并查集）

1. 图的分类

1.1 无向图 vs 有向图

无向图(undirected graph) $G$ 是由一个非空有限集合$V(G)$ 和 $V(G)$ 中某些元素的无序对集合 $E(G)$ 构成的二元组，记为
$$G=(V(G),E(G))$$

where,
V ( G ) = { v 1 , v 2 , . . . , v n } V(G)=\{v_1,v_2,...,v_n\} V(G)={ v1​,v2​,...,vn​} 称为顶点集(vertex set)
E ( G ) = { e 1 , e 2 , . . . , e n } E(G)=\{e_1,e_2,...,e_n\} E(G)={ e1​,e2​,...,en​} 称为边集(edge set), $e_k=(v_i,v_j)$

如果一个图的顶点集和边集都有限，则称为有限图。使用符号 $|V|$ or $v(G)$ 表示顶点数，$|E|$ or $\epsilon (G)$ 表示边数

有向图(directed graph 或 digraph) $G$ 是由一个非空有限集合 $V$ 和 $V$ 中某些元素的有序对集合 $A$ 构成的二元组，记为
$$G=(V,A)$$

where,
A = { a 1 , a 2 , . . . , a m } A = \{a_1, a_2, ..., a_m\} A={ a1​,a2​,...,am​} 称为弧集(arc set)。对于 $a_k=(v_i,v_j)$，称 $v_i$ 为尾(tail), $v_j$ 为头(head)，并称弧 $a_k$ 为 $v_i$ 的出弧(outgoing arc)，为 $v_j$ 的 入弧(incoming arc)。

以下若未指明“有向图”三字，“图”字皆指无向图。

1.2 (无/有)权图、环图

故名思意，(无/有)权图根据边是否有权重来区分

同样，(无/有)环图根据图中是否存在环来区分，环定义为一条从一个节点出发并回到同一节点的路径(path)

树是一种典型的无环图（树 = 连通无环图）

1.3 完全图、二分图

每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。$n$ 个顶点的完全图记为 $K_n$。

若 $V(G)=X\cup Y,X\cap Y=\text{Ø},|X||Y|\ne 0$，$X,Y$ 中无相邻顶点对，则称 $G$ 为二分图(bipartite graph)；特别地，若 $\forall x\in X,\forall y\in Y$，则 $xy\in E(G)$，则称 $G$ 为完全二分图，记为 $K_{|X|,|Y|}$。

示例：完全二分图

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2. 图的基本概念

简单图

连通分量(Connected Component) 为一个图的极大连通子图，例如下图的连通分量为 2

图的生成树

顶点的度

设 $v\subset V(G)$，$G$ 中与 $v$ 关联的边数(每个环算作两条边)称为 $v$ 的度(degree)，记作 $d(v)$。若 $d(v)$ 是奇数，称 $v$ 是奇顶点(odd point)，反之偶顶点(even point)。

子图、母图

如果 $V(H)\subset V(G),E(H)\subset E(G)$，则称 $H$ 为图 $G$ 的子图(subgraph)，记作 $H\subset G$。同时称 $G$ 为 $H$ 的母图。

$G$ 的支撑子图(spanning subgraph，又成生成子图)是指满足 $V(H)=V(G)$ 的子图 $H$。