数论入门
- 素数
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 - 欧拉函数
在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
若n是质数p的k次幂，
因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 - 费马定理
费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出。如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p） - 欧拉定理
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:
- 素性测试算法
对于一个数n，如果想要判断它是否为素数，常规的方法为试除法。即，让n依次除以2到sqrt（n）以内的整数。如果有出现除尽的情况，则为合数。
实际素性测试中，使得错误可能性小于2-80检测的次数（安全次数S） - CRT，中国剩余定理
物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
CRT说明：某一范围内的整数可以通过他的一组剩余类来重构，这组剩余类是对该整数用一组两两互素的整数取模得到 - ** 离散对数问题**
方程y=gxmod p，对给定g，x和p，可直接计算y，对多执行x次乘法，且才能在有效算法
给定y，g和p，计算x一般非常困难，即求离散对数，其难度与RSA中因子分解素数之积有相同难度数量级
已知的最快求模数为素数的离散对数的算法，难度阶为：e^((lnp) 1/3 (ln(lnp))2/3)对大素数该算法不可行。
公钥密码体制基本模型
对称密码体制的局限性
- 密钥分配问题：通信双发要进行加密通信，需要通过秘密的安全信道协商加密密钥，而这种安全信道可能很难实现
- 密钥管理问题：在有多个用户的网络中，任何两个用户之间都需要有共享的密钥，当网络中的用户n很大时，需要管理的密钥数目非常大
N个用户之间通信密钥管理问题：每个用户保存N-1个密钥，总共管理N（N-1）/2个秘钥 - 难以实现不可否认功能：当用户A收到用户B的消息时，无法向第三方证明此消息的来源确实是B，也无法防止事后B否认发送过信息
非对称密码的算法是基于数学函数的，而不是建立在字符或位方式操作上的
与对称密码加解密使用同一密钥不同，非对称密码使用两个独立的密钥，且加密密钥可公开，因此又称公钥密码体制
单向陷门函数
如果函数f（x）被称为单向陷门函数，必须满足一下三个条件：
- 给定x，计算y=f(x)是容易的
- 给定y，计算x使得y=f(x)是困难的
- 存在σ，已知σ时对给定的任何y，若相应的x存在，则计算x使得y=f(x)是容易的
公钥密码体制的性质
- 机密性：通过数据加密来保证非授权人员不能获得机密信息
- 数据完整性：通过数字签名来保证信息内容不会被篡改或替换
- 认证：通过数字签名来验证对方的真实身份
- 不可抵赖性：通过数字签名来实现，是发送者不能事后否认他发送过信息，消息的接受者可以向第三方证实发送者确实发送了消息
RSA算法即安全性分析
RSA既能用于加密，又能用于数字签名，易于理解和实现，是第一个安全、使用的公钥密码体制
RSA的基础是数论的欧拉定理，他的安全性依赖于大整数的因式分解的困难性
RSA安全-明文操纵
- 攻击者已知公钥{e,n}
- 攻击者捕获密文y
- 攻击者替换y为Sey
- 攻击者虽无法解密，但接受方得到是被操纵后的明文