基于两步聚类的离群点检测

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本文主要针对IBM SPSS Modeler 18.0中离群点检测算法的原理以及“异常”节点（见图1）使用方法进行说明。SPSS Modeler中的离群点检测算法思想主要基于聚类分析。如图2所示，可先将图中样本点聚成三类，$A$、$B$和$C$三个样本点应分别属于距离他们最近的类，但与相对类内的其他样本点，这三个点又分别远离各自的类，所以可以基于此判定是离群点。

 

图1：“异常”节点

 

图2：离群点检测示意图

1. 离群点检测算法思想

根据上述分析，你群点检测算法主要分为三个阶段：第一阶段，聚类，即将样本点聚成若干类；第二阶段，计算，即在第一阶段聚类的基础上，依据距离计算所有样本点的异常性测度指标；第三阶段，诊断，即在第二阶段异常性测度指标的基础上，确定最终的离群点，并分析导致样本点异常的原因，也就是分析离群点在哪个变量方向上呈现异常。以下就这三个阶段分别讨论：

1.1. 第一阶段：聚类

该阶段主要借助两步聚类算法实现对所有样本点的聚类（可参考两步聚类算法的相关内容）。两步聚类算法主要分为两个步骤：第一步是通过构造聚类特征（CF）树将大量零散的数据样本浓缩成可管理数量的子簇；第二步是从CF树叶节点的子簇开始利用凝聚法（agglomerative hierarchical clustering method），逐个地合并子簇，直到期望的簇数量。

两步聚类算法可以进行离群点处理，首先在CF树瘦身（rebuilding）之前筛选出潜在离群点，并CF树瘦身步骤后重新插入误识离群点到中。

• 潜在离群点的筛选。在CF树实施瘦身之前，从当前CF树中的所有叶元项（leaf entry）中找出包含最多数据样本的元项，记录该元项包含的数据样本数目（$N_{\max} $），根据事先确定的比例参数$\alpha$；如果某叶元项包含的数据样本数目小于$\alpha N_{\max} $，则该叶元项置为潜在离群点，从当前CF 树中移除。
• 误识离群点的插入。在CF树瘦身完毕后，逐个处理潜在离群点，如果能够在不增加当前CF树体积的条件下吸收到CF树中，则认为该潜在离群点为误识离群点，将插入至当前CF树上。在完成数据集$\mathfrak D $中所有数据点到CF树上的插入后，仍为潜在离群点的元项，视为最终离群点。

在完成数据集中所有数据样本到CF树上的插入后，仍为潜在离群点的元项，视为最终离群点。这些离群点将会分配到第二步凝聚法的聚类结果中。

“异常”节点中与此阶段相关的，是其“专家”选项的相关参数设计（见图3）:

• 调整系数。指定一个大于0的数，用于调整连续型变量和分类型变量在计算距离时的权重，该值越大，连续型变量的权重越大。
• 自动计算对等组数。表示自动判断样本点应聚成几个类，聚类数目允许的最小值和最大值须分别指定。
• 指定对等组数。选中此选项，可直接指定聚类数目。
• 噪声水平。其对应了上文中的$\alpha$，噪声水平的取值在0到0.5之间。
• 插补缺失值。如果选中该选项，对于连续型变量将用变量均值代替缺失值，对于分类型变量，缺失值将作为一个有效的新类别；如果，该选项没有选中，任何带有缺失值的样本都将从分析中剔除。

图3：“异常”节点的“专家”选项

1.2. 第二阶段：计算

第二阶段的任务是在第一阶段聚类的基础上，计算样本的异常性测度指标，异常性测度指标的计算是基于对数似然距离（可参考对数似然距离的相关内容）。对于样本点$s$，离群点检测算法计算了以下指标。

（1）找到样本点$s$所属的簇$C_j$。通过计算$\{s\}$与$C_j \setminus \{s\}$的对数似然距离得到样本点$s$的组差异指标GDI（Group Deviation Index）：

\begin{equation}\label{Eq.1}
GDI_s = d(\{s\}, C_j \setminus \{s\}) = \zeta_{C_j \setminus \{s\}} + \zeta_{\{s\}} - \zeta_{C_j}
\end{equation}

其中

\begin{equation*}
\zeta_{C_j} = -N_j \left ( \frac12 \sum_{k=1}^{D_1} \ln (\hat \sigma^2_{jk} + \hat \sigma^2_k) + \sum_{k=1}^{D_2} \hat E_{jk} \right )
\end{equation*}

\begin{equation*}
\hat E_{jk} = -\sum_{l=1}^{\epsilon_k} N_{jkl}/N_j \ln (N_{jkl}/N_j)
\end{equation*}

公式中符号的具体含义见“对数似然距离”。GDI反映的是，样本点$s$加入簇$C_j$后所引起的簇$C_j$内部差异/散布的增大量，因此GDI越大，样本点越有可能是离群点。

（2）根据$\zeta_{C_j}$的定义，$\zeta_{C_j}$可以划分成各变量上值得线性组合：

\begin{equation*}
\zeta_{C_j} = \sum_k^D \zeta_{C_j}^{(k)}
\end{equation*}

其中

\begin{equation*}
\zeta_{C_j}^{(k)} =
\begin{cases}
- \frac{N_j}2 \ln (\hat \sigma^2_{jk} + \hat \sigma^2_k), & \text{变量}k\text{是连续型的} \\
-\sum_{l=1}^{\epsilon_k} N_{jkl} \ln (N_{jkl}/N_j), & \text{变量}k\text{是分类型的}
\end{cases}
\end{equation*}

进一步定义样本点$s$在变量$k$上的变量差异指标VDI（Variable Deviation Index）:

\begin{equation}\label{Eq.2}
VDI_s^{(k)} = \zeta_{C_j \setminus \{s\}}^{(k)} + \zeta_{\{s\}}^{(k)} - \zeta_{C_j}^{(k)}
\end{equation}

因此有$GDI_s = \sum_k VDI_s^{(k)}$，变量差异指标VDI表示各变量在组差异指标GDI上的“贡献”大小。

（3）计算异常指标AI（Anomaly Index）。

对于样本点$s$，其AI定义为：

\begin{equation}\label{Eq.3}
AI_s = \frac{GDI_s}{\frac{1}{|C_j|} \sum_{t \in C_j} GDI_t}
\end{equation}

AI是一个相对指标较GDI更直观，是样本点$s$所引起的簇内差异与簇$C_j$内其它样本点所引起差异的平均值的比例，该值越大，认为样本点$s$是离群点的可能性就越大。

（4）计算变量贡献指标VCM（Variable Contribution Measures）。

对于样本点$s$，变量$k$的贡献指标定义为

\begin{equation}\label{Eq.4}
VCM_s^{(k)} = \frac{VDI_s^{(k)}}{GDI_s}
\end{equation}

VCM是一个相对指标，较VDI更直观，反映的是各聚类变量对组内差异“贡献”的比例。该值越大，则相应变量导致样本点$s$离群原因的可能性越大。

1.3. 第三阶段：诊断

第二阶段计算得到了所有样本点的GDI、VDI、AI和VCM，本阶段将依据这些指标的排序结果，确定离群点，并分析导致异常的原因。

1. 将AI按照降序排序，排在前$m$位的样本点可能为离群点。同时，$m$位置的AI 值就是离群点的判断标准。大于该值的为离群点，小于为非离群点。
2. 对于离群点，将VDI按照降序排序，排在前$l$位的变量是导致该点可能异常的主要原因。

“异常”节点中与第二、三阶段相关的，是其“模型”选项的相关参数设计（见图4）:

• 最小异常指数水平。指定异常指标AI的阈值，对于样本点$s$，如果根据式(3)计算出的$AI_s$大于该阈值，则该样本点$s$定义为离群点。
• 训练数据中最异常的记录百分比。指定多少百分比的样本为离群点。
• 训练数据中最异常的记录数。指定多少个样本为离群点。
• 要报告的异常字段数（$l$）。对于离群点$s$，对于所有变量$k$，取$l$个$VDI_s^{(k)}$值（由式(2)计算）最大的变量在模型结果中进行报告。

图4：“异常”节点的“模型”选项

2. 示例流

图5：异常检测示例流

参考《SPSS Modeler数据挖掘方法及应用》中的数据和流，构造了图5中所示的流。打开流中的模型块（如图6和7所示）。

图6中“模型”选项的结果表明，所有样本数据聚成了两类（称之为“对等组”），第1类包含498个样本，发现5个离群点；第2类包含169个样本，发现1个离群点。对第1类中5 个离群点分别找出3个VCM值（见式(4)）最大的变量，形成了图6中的上表。所有5个离群点对应的3个VCM值最大的变量中都包含“基本费用”，换句话说，变量“基本费用”对于形成所有5个离群点都有较大贡献，5个离群点的平均VCM 值为0.165. 另一个需要注意的变量是“免费部分”，虽然该变量只对3个离群点的成因有较大贡献，但其平均VCM的值达到了0.325，这说明，它对这3个离群点的成因有非常大的贡献。

图7中“摘要”选项给出了判断离群点的AI阈值，即“异常指数分界值：1.52328”。 针对本次找出的6个离群点，通过式(3)计算出的AI值都不小于该值，而其它样本点的AI值都小于该值。

图6：“异常”模型块的“模型”选项

 

图7：“异常”模型块的“摘要”选项

在模型块的“设置”选项中选中“丢弃记录”-“非异常”后运行“异常数据”表格，得到如图8的离群点输出结果，该表格中一共出现了5类新变量：

表1：新变量说明

新变量名称	说明
$O-Anomaly	是否离群点，T：是，F：否
$O-AnomalyIndex	该样本的异常指标AI，由式(3)计算
$O-PeerGroup	样本分配到的对等组（所在簇）
$O-Field-n	VCM第n大的变量名称，VCM由式(4)计算
$O-FieldImpact-n	VCM第n大的变量对应的VCM值

 以图5中的流为例，因为图4中的“要报告的异常字段数”设定为3，所以$O-Field-n和$O-FieldImpact-n中的$n$最大只能取到3. 再看图8中的第一行，该样本的$AI=1.530$，属于第一个簇，VCM贡献最大的变量是“收入”，该样本在变量“收入”下的$VCM=0.200$.

图8：离群点输出结果表

参考文献

[1] 薛薇, 陈欢歌. SPSS Modeler数据挖掘方法及应用[M]. 北京: 电子工业出版社. 2014.